Question

现在“汽车”是很“给力”的名词．汽车厂商对某款汽车的维修费进行电脑模拟试验，分别以汽车使用年限n和前n年累计维修费S_n（万元）为横、纵坐标绘制成点，发现点（n，S_n）在函数y=ax²+bx（a≠0）的图象上（如图所示），其中A（5，1.05）、B（10，4.1）．
（1）求出累计维修费S_n关于使用年数n的表达式，并求出第n年得维修费；
（2）汽车开始使用后每年均需维修，按国家质量标准规定，出售后前两年作为保修时间，在保修期间的维修费用由汽车厂商承担，保修期过后，汽车维修费用有车主承担．若某人以9.18万元的价格购买这款品牌车，求年平均耗资费的最小值．（年平均耗资费=

车价+车主承担的维修费

使用年数

）

Answer 1

分析：由A（5，1.05）与B（10，4.1）在函数y=ax²+bx（a≠0）的图象上，
可得a=0.04，b=0.0则有 y=0.04x²+0.01x
再由（n，S_n）在y=0.04x²+0.01x 知S_n=0.04n²+0.01n，利用递推公式a_n=S_n-S_n-1可求a_n
（2）根据题意可得车价+车主承担的维修费=0.04n²+0.01n-0.18+9.18=0.04n²+0.01n+9万元从而年平均耗资

0.04n2+0.01n+9

n

，利用基本不等式可求

解答：解：由A（5，1.05）与B（10，4.1）在函数y=ax²+bx（a≠0）的图象上得

1.05=25a+5b 4.1=100a+10b

解得a=0.04，b=0.01
所以 y=0.04x²+0.01x
由（n，S_n）在y=0.04x²+0.01x 知S_n=0.04n²+0.01n
n=1，a₁=S₁=0.05
n≥2，a_n=S_n-S_n-1=0.08n-0.03
所以，a_n=0.08n-0.03
（2）由于在保修期间的维修费用由车企业承担
所以当n≥3时，车主所承担的累计维修费为：a₃+a₄+…+a_n=S_n-S₂=0.04n²+0.01n-0.18万元
车价+车主承担的维修费=0.04n²+0.01n-0.18+9.18=0.04n²+0.01n+9万元
年平均耗资为

0.04n2+0.01n+9

n

=0.04n+

9

n

+0.01≥2

0.04n• 9 n

+0.01=1.21万元
当且仅当n=15取等号
即使用15年这款汽车的年平均耗资费用最少为1.21万元

点评：本题主要考查了利用基本不等式解决实际问题，在应用基本不等式解决实际应用问题是高考应用命题的重点之一不等式的应用题大多与函数、数列结合出现，属于综合试题在解决范围问题或求最值时，基本不等式为主要工具，从而解决实际问题．