题目内容

已知P是圆C：(x-1)2+(y-
3
)2=1上的一个动点，A（
3
，1），则
OP
•
OA
的最小值为
 
．
分析：如图，作PQ⊥OA于Q，CD⊥OA于D，根据向量数量积的几何意义，当向量
OP
在向量
OA
上的射影最小时，
OP
•
OA
取到最小值．由此根据题中的圆C方程与点A坐标加以计算，可得
OP
•
OA
的最小值．
解答：解：精英家教网圆C：(x-1)2+(y-
3
)2=1的圆心为C（1，
3
），半径r=1
如图，作PQ⊥OA于Q，CD⊥OA于D，
设D（
3
λ，λ），可得
CD
=（
3
λ-1，λ-
3
），
由
OA
⊥
CD
，得
OA
•
CD
=
3
(
3
λ-1)+(λ-
3
)=0，
解之得λ=
3
2
，可得D（
3
2
，
3
2
），|
OD
|=
9
4
+
3
4
=
3
．
根据向量数量积的几何意义，当向量
OP
在向量
OA
上的射影最小时，
OP
•
OA
取到最小值．
∵|
OQ
|min=|
OT
|=|
OD
|-1=
3
-1．
∴
OP
•
OA
min=|
OA
|?|
OQ
|min═|
OA
|?|
OT
|=2（
3
-1）
故答案为：2（
3
-1）
点评：本题给出点P是圆C上一点，A点在圆C外，求数量积
OP
•
OA
的最小值．着重考查了向量的数量积及其运算性质、直线与圆的方程等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知圆C的参数方程为
x=1+2cosθ
y=
3
+2sinθ
(θ为系数)，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程．
请考生注意：重点高中学生只做（1）、（2）两问，一般高中学生只做（1）、（3）两问．
已知P是圆F1：(x+1)2+y2=16上任意一点，点F2的坐标为（1，0），直线m分别与线段F1P、F2P交于M、N两点，且
MN
=
1
2
(
MF2
+
MP
)，|
NM
+
F2P
|=|
NM
-
F2P
|．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）斜率为k的直线l与曲线C交于P、Q两点，若
OP
•
OQ
=0（O为坐标原点）．试求直线l在y轴上截距的取值范围；
（3）是否存在斜率为
1
2
的直线l与曲线C交于P、Q两点，使得
OP
•
OQ
=0（O为坐标原点），若存在求出直线l的方程，否则说明理由．
已知P是圆F1：（x+1）2+y2=16上的动点，点F2（1，0），线段PF2的垂直平分线l与半径F1P交于点Q．
（I）当点P在圆上运动时，求点Q的轨迹C的方程．
（II）已知点M（1，
3
2
），A、B在（1）中所求的曲线C上，且
MA
+
MB
=λ
OM
（λ∈R，O是坐标原点），
（i）求直线AB的斜率；
（ii）求证：当△MAB的面积取得最大值时，O是△MAB的重心．
请考生注意：重点高中学生只做（1）、（2）两问，一般高中学生只做（1）、（3）两问．
已知P是圆F1：(x+1)2+y2=16上任意一点，点F2的坐标为（1，0），直线m分别与线段F1P、F2P交于M、N两点，且
MN
=
1
2
(
MF2
+
MP
)，|
NM
+
F2P
|=|
NM
-
F2P
|．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）斜率为k的直线l与曲线C交于P、Q两点，若
OP
•
OQ
=0（O为坐标原点）．试求直线l在y轴上截距的取值范围；
（3）是否存在斜率为
1
2
的直线l与曲线C交于P、Q两点，使得
OP
•
OQ
=0（O为坐标原点），若存在求出直线l的方程，否则说明理由．

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