题目内容

【题目】顶点在原点,焦点在x轴正半轴的抛物线,经过点(3,6),
(1)求抛物线截直线y=2x﹣6所得的弦长.
(2)讨论直线y=kx+1与抛物线的位置关系,并求出相应的k的取值范围.

【答案】
(1)

解:由题意可知:设抛物线的方程为:y2=2px,(p>0),

由抛物线经过点(3,6),

∴36=2×p×3,解得:p=6,

∴抛物线方程为:y2=12x,

设直线y=2x﹣6与抛物线两交点A(x1,y1),B(x2,y2),

,整理得:x2﹣9x+9=0,

由韦达定理可知:x1+x2=9,x1x2=9,

∴|AB|= = =15,

抛物线截直线y=2x﹣6所得的弦长15


(2)

解:当k=0时,y=1,直线与抛物线有一个交点,

当k≠0时,由 ,整理得:k2x2+2(k﹣6)x+1=0,

当△=4(k﹣6)2﹣4k2>0,解得:k<3,

∴直线与抛物线有两个交点,

△=4(k﹣6)2﹣4k2<0,解得:k>3,

直线与抛物线无交点,

当△=4(k﹣6)2﹣4k2=0,即k=3时,

直线与抛物线有一个交点,

综上可知:当k>3时,直线y=kx+1与抛物线相离,即直线与抛物线无交点,

当k=3时,直线y=kx+1与抛物线相切,直线与抛物线有一个交点,

当k<3且k≠0,直线与抛物线相交,有两个交点,

当k=0时,直线与抛物线相交,有一个交点


【解析】(1)由题意设椭圆的方程为:y2=2px,(p>0),由抛物线经过点(3,6),代入即可求得p的值,求得抛物线方程,将y=2x﹣6代入y2=12x,由韦达定理求得x1+x2=9,x1x2=9,根据弦长公式可知:|AB|= ,即可求得抛物线截直线y=2x﹣6所得的弦长;(2)当k=0时,y=1,直线与抛物线有一个交点,当k≠0时,将y=kx+1代入抛物线方程,由△>0,直线与抛物线有两个交点,求得k的取值范围,当△<0,直线与抛物线相离,无交点,求得k的取值范围,当△=0,直线与抛物线相切,仅有几个交点,求得k的取值.

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