Question

14．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=2，a_n+1=2S_n+2．
（1）求a₂；
（2）数列{a_n}的通项公式；
（3）设b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n+1}{S}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）令n=1代入计算即可得到；
（2）由数列的通项和求和的关系，结合等比数列的通项公式，即可得到所求；
（3）b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n+1}{S}_{n}}$=$\frac{2•{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$，再由裂项相消求和，化简即可得到．

解答 解：（1）a₁=2，a_n+1=2S_n+2，
可得a₂=2S₁+2=2×2+2=6；
（2）a_n+1=2S_n+2，
当n≥2时，a_n=2S_n-1+2，
可得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
即为a_n+1=3a_n，
则a_n=a₂•3^n-2=2•3^n-1，
对n=1成立，
故数列{a_n}的通项公式为a_n=2•3^n-1；
（3）b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n+1}{S}_{n}}$=$\frac{2•{3}^{n}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$
=$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$，
则数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{3-1}$-$\frac{1}{9-1}$+$\frac{1}{9-1}$-$\frac{1}{27-1}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}-1}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查数列的通项和求和之间的关系，考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．