题目内容

【题目】已知函数f(x)=excosx﹣x.(13分)
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间[0, ]上的最大值和最小值.

【答案】
(1)

解:函数f(x)=excosx﹣x的导数为f′(x)=ex(cosx﹣sinx)﹣1,

可得曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=e0(cos0﹣sin0)﹣1=0,

切点为(0,e0cos0﹣0),即为(0,1),

曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1;


(2)

解:函数f(x)=excosx﹣x的导数为f′(x)=ex(cosx﹣sinx)﹣1,

令g(x)=ex(cosx﹣sinx)﹣1,

则g(x)的导数为g′(x)=ex(cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx)=﹣2exsinx,

当x∈[0, ],可得g′(x)=﹣2exsinx≤0,

即有g(x)在[0, ]递减,可得g(x)≤g(0)=0,

则f(x)在[0, ]递减,

即有函数f(x)在区间[0, ]上的最大值为f(0)=e0cos0﹣0=1;

最小值为f( )=e cos =﹣


【解析】(1.)求出f(x)的导数,可得切线的斜率和切点,由点斜式方程即可得到所求方程;
(2.)求出f(x)的导数,再令g(x)=f′(x),求出g(x)的导数,可得g(x)在区间[0, ]的单调性,即可得到f(x)的单调性,进而得到f(x)的最值.

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