Question

已知平面内一动点 P到定点的距离等于它到定直线的距离，又已知点 O（0，0），M（0，1）．
（1）求动点 P的轨迹C的方程；
（2）当点 P（x，y）（x≠0）在（1）中的轨迹C上运动时，以 M P为直径作圆，求该圆截直线所得的弦长；
（3）当点 P（x，y）（x≠0）在（1）中的轨迹C上运动时，过点 P作x轴的垂线交x轴于点 A，过点 P作（1）中的轨迹C的切线l交x轴于点 B，问：是否总有 P B平分∠A PF？如果有，请给予证明；如果没有，请举出反例．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据抛物线的定义判定出动点 P是以为焦点以为准线的抛物线，直接写出其方程为x²=2y
（2）根据圆的标准方程求出圆的方程，根据直线截圆的弦长公式弦长l=2求出该圆截直线所得的弦长
（3）根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用直线的点斜式求出切线l的方程为，利用点到直线的距离公式求出B到PA的距离为，再求出点B到直线PF的距离，根据角平分线的判定得到总有PB平分∠APF．
解答：解：（1）根据题意，动点 P是以为焦点以为准线的抛物线，
所以p=1开口向上，
所以动点 P的轨迹C的方程为x²=2y
（2）以 M P为直径的圆的圆心（），|MP|===
所以圆的半径r=，圆心到直线的距离d=||=，
故截得的弦长l=2==1
（3）总有 P B平分∠A PF．
证明：因为
所以，y^′=x，．
所以切线l的方程为，
令y=0得，
所以B（）
所以B到PA的距离为
下面求直线PF的方程，
因为
所以直线PF的方程为整理得
所以点B到直线PF的距离
所以 PB平分∠APF．
点评：本题考查导数的几何意义；直线与圆相交的弦长公式；点到直线的距离公式以及角平分线的判定，属于一道综合题．