题目内容
已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求
| AD |
| EB |
分析：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），根据两点间距离公式和点到直线的距离公式，列方程，并化解即可求得动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设出直线l1的方程，理想直线和抛物线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线l2的方程与抛物线的交点坐标，代入
•
利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值．
（Ⅱ）设出直线l1的方程，理想直线和抛物线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线l2的方程与抛物线的交点坐标，代入
| AD |
| EB |
解答：解：（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），由题意得
- |x|=1，
化简得y2=2x+2|x|．
当x≥0时，y2=4x；当x＜0时，y=0，
所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≥0）和y=0（x＜0）．
（Ⅱ）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零，设为k，则l1的方程为y=k（x-1）．
由
，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=2+
，x1x2=1．
∵l1⊥l2，∴直线l2的斜率为-
．
设D（x3，y3），E（x4，y4），则同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1．
故
•
=(
+
)•(
+
)=
•
+
•
+
•
+
•
=|
•|
|+|
•|
=（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）
=x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+x3+x4+1
1+2+
+1+1+2+4k2+1=8+4（k2+
）≥8+4×2=16，
当且仅当k2=
，即k=±1时，
•
的最小值为16．
| (x-1)2+y2 |
化简得y2=2x+2|x|．
当x≥0时，y2=4x；当x＜0时，y=0，
所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≥0）和y=0（x＜0）．
（Ⅱ）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零，设为k，则l1的方程为y=k（x-1）．
由
|
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=2+
| 4 |
| k2 |
∵l1⊥l2，∴直线l2的斜率为-
| 1 |
| k |
设D（x3，y3），E（x4，y4），则同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1．
故
| AD |
| EB |
| AF |
| FD |
| EF |
| FB |
| AF |
| EF |
| AF |
| FB |
| FD |
| EF |
| FD |
| FB |
=|
| AF| |
| FB |
| FD| |
| EF| |
=x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+x3+x4+1
1+2+
| 4 |
| k2 |
| 1 |
| k2 |
当且仅当k2=
| 1 |
| k2 |
| AD |
| EB |
点评：此题是个难题．考查代入法求抛物线的方程，以及直线与抛物线的位置关系，同时也考查了学生观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．
练习册系列答案
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轴的距离少1.
于
点，且
,
,
的值。