Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=$\frac{4}{5}$，b=6，
（1）当a=5时，求角A；
（2）当△ABC的面积为27时，求a+c的值．

Answer 1

分析 （1）由$cosB=\frac{4}{5}$，可求sinB，由正弦定理可得sinA=$\frac{1}{2}$，又a=5＜b=6，由大边对大角可得A为锐角，即可得解．
（2）由$S=\frac{1}{2}acsinB$，$sinB=\frac{3}{5}$，解得ac=90．由余弦定理可求得a²+c²=180，从而由（a+c）²=a²+c²+2ac=360即可得解．

解答 解：（1）∵$cosB=\frac{4}{5}$，∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3}{5}$，
∵a=5，由正弦定理可得：sinA=$\frac{asinB}{b}$=$\frac{5×\frac{3}{5}}{6}$=$\frac{1}{2}$…（3分）
又∵a=5＜b=6
∴A＜B，A为锐角．
∴A=$\frac{π}{6}$．…（7分）
（2）∵$S=\frac{1}{2}acsinB$，$sinB=\frac{3}{5}$，
∴$\frac{3}{10}ac=27$，即ac=90．
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB
得$36={a^2}+{c^2}-\frac{8}{5}ac={a^2}+{c^2}-144$，即a²+c²=180．…（11分）
所以（a+c）²=a²+c²+2ac=180+180=360，
所以，$a+c=6\sqrt{10}$．              …（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式等知识的综合应用，属于基本知识的考查．