Question

A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子，且x+y+z=6（x，y，z∈N），B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，两人各自从自己的箱子中任取一球，规定：当两球同色时A胜，异色时B胜；
（1）用x，y，z表示A胜的概率；
（2）若又规定当A取红、白、黄球而胜的得分分别为1、2、3分，否则得0分，求A得分的期望最大值及此时x，y，z的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中当两球同色时A胜，根据A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子，且x+y+z=6（x，y，z∈N），B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子，代入相互独立事件概率计算公式，即可得到答案．
（2）由当A取红、白、黄球而胜的得分分别为1、2、3分，否则得0分，我们分别设A的得分为随机变量ξ，则我们可得随机变量ξ的取值可能为3，2，1，0，求出其分布列后，代入数学期望公式，即可得到答案．

解答：解：（1）∵P（A胜）=P（A、B均取红球）+P（A、B均取白球）+P（A、B均取黄球）
又∵A有一只放有x个红球，y个白球，z个黄球的箱子，且x+y+z=6
B有一只放有3个红球，2个白球，1个黄球的箱子
∴P（A胜）=

x

6

×

3

6

+

y

6

×

2

6

+

z

6

×

1

6

=

1

36

（3x+2y+z）
（2）设A的得分为随机变量ξ，则
 P（ξ=3）=

z

6

×

1

6

=

z

36

，
P(ξ=2)=

y

6

×

2

6

=

2y

36

P(ξ=1)=

x

6

×

3

6

=

3x

36

，
P(ξ=0)=1-

3x+2y+z

36

Eξ=3×

z

36

+2×

2y

36

+1×

3x

36

+0=

3z+4y+3x

36

=

3(x+y+z)+y

36

=

1

2

+

y

36

∵x，y，z∈N且x+y+z=6又0≤3x+2y+z≤36
∴当y=6时，Eξ取值最大值为

2

3

，此时x=z=0

点评：本题考查的知识点是概率的应用，随机变量的分布列与随机变量的数学期望，其中（1）的关键是根据题意得到：P（A胜）=P（A、B均取红球）+P（A、B均取白球）+P（A、B均取黄球）；（2）的关键是求出随机变量ξ的分布列．