题目内容

函数是定义在(-1,1)上的奇函数,且
(1)确定函数f(x)的解析式;
(2)试判断f(x)在(-1,1)的单调性,并予以证明;
(3)若f(t-1)+f(t)<0,求实数t的取值范围.
【答案】分析:(1)由题意可得,f(-x)=-f(x),代入可求b,然后由可求a,进而可求函数解析式
(2)对函数求导可得,f′(x)=,结合已知x的范围判断导函数的正负即可判断函数f(x)在(-1,1)上的单调性
(3)由已知可得f(t-1)<-f(t)=f(-t),结合函数在(-1,1)上单调递增可求t的范围
解答:(1)解:∵函数是定义在(-1,1)上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x)

∴-ax+b=-ax-b
∴b=0


∴a=1

(2)证明:∵f′(x)=
∵-1<x<1时,>0
∴f(x)在(-1,1)上是增函数
(没有学习导数的也可利用函数的单调性的定义)
(3)解:∵f(t-1)+f(t)<0,且函数为奇函数
∴f(t-1)<-f(t)=f(-t),
由(2)知函数在(-1,1)上单调递增
∴-1<t-1<-t<1

点评:本题主要考查了奇函数的定义的应用及待定系数求解函数的解析式,及函数的单调性在不等式的求解中的应用
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