题目内容

设F₁、F₂分别为椭圆C： $数学公式$ =1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1， $数学公式$ ）到F₁、F₂两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F₁K的中点的轨迹方程；
（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线 $数学公式$ 写出具有类似特性的性质，并加以证明．

解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2．
又点A（1， $\text{[math]}$ ）在椭圆上，因此b²=3，于是c²=1．
所以椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ，焦点F₁（-1，0），F₂（1，0）．
（2）设椭圆C上的动点为K（x₁，y₁），线段F₁K的中点Q（x，y），∴x₁=2x+1，y₁=2y．
因此 $\text{[math]}$ ．即 $\text{[math]}$ 为所求的轨迹方程．
（3）类似的性质为若MN是双曲线 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1上关于原点对称的两个点，
点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，
并记为k_PM、k_PN时，那么k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．
设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），
其中 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1、又设点P的坐标为（x，y），
由k_PM= $\text{[math]}$ ，k_PN= $\text{[math]}$ ，
得k_PM•k_PN= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
将y²= $\text{[math]}$ x²-b²，n²= $\text{[math]}$ m²-b²，代入得k_PM•k_PN= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F₁、F₂两点的距离之和是4，根据椭圆的定义可得2a=4，即a=2．利用点A（1， $\text{[math]}$ ）在椭圆上，可求得b²=3，从而可求椭圆C的方程；
（2）先利用中点坐标公式求得动点与F₁K之间坐标关系，利用动点在椭圆上，可求中点的轨迹方程．
（3）设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），进而可知 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1、又设点P的坐标为（x，y），表示出直线PM和PN的斜率，求的两直线斜率乘积的表达式，把y和x的表达式代入发现结果与p无关．
点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程，考查代入法求轨迹方程，考查了圆锥曲线的共同特征．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．