Question

已知{a_n}是等差数列，d为公差且不为0，a₁和d均为实数，它的前n项和记作S_n，设集合A={（a_n，

Sn

n

）|n∈N^*}，B={（x，y）|

1

4

x²-y²=1，x，y∈R}．试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明：
（1）若以集合A中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上；
（2）A∩B至多有一个元素；
（3）当a₁≠0时，一定有A∩B≠∅．

Answer 1

分析：（1）在等差数列中，写出数列的前n项和的公式，表达出集合中的元素，得到点的坐标适合直线的方程．
（2）列出方程组，利用消元法求出方程组的解，验证这个方程组只有一个解，得到这个集合至多有一个元素．
（3）验证当首项为1，公差为1时，集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，由于a₁=1≠0，如果A∩B≠∅，根据（2）的结论，A∩B至多有一个元素（x₀，y₀），当a₁≠0时，一定有A∩B≠∅是不正确的．

解答：解：（1）在等差数列{a_n}中，对一切n∈N^*，有S_n=

n(a1+an)

2

，则

sn

n

=

1

2

(a1+an)
这表明点（a_n，

sn

n

）适合方程y=

1

2

（x+a₁），
于是点（a_n，

sn

n

）均在直线y=

1

2

x+

1

2

a₁上．
（2）设（x，y）∈A∩B，
则x，y是方程组

y= 1 2 x+ 1 2 a1 1 4 x2-y2 =1

的解，
由方程组消去y得2a₁x+a₁²=-4，
当a₁=0时，方程2a₁x+a₁²=-4无解，
此时A∩B=∅；
当a₁≠0时，
方程2a₁x+a₁²=-4只有一个解x=

-4-a12

2a1

此时，方程组只有一解，
故上述方程组至多有解

x= -4-a12 2a1 y= a12-4 4a1

，
∴A∩B至多有一个元素．
（3）取a₁=1，d=1，对一切的n∈N^*，
有a_n=a₁+（n-1）d=n＞0，

sn

n

＞0，
这时集合A中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，
另外，由于a₁=1≠0，如果A∩B≠∅，
那么根据（2）的结论，A∩B至多有一个元素（x₀，y₀），
而x₀=

-4-a12

2a1

=-

5

2

＜0，y₀=

a12-4

4a1

=-

3

4

＜0，这样的（x₀，y₀）∉A，产生矛盾，故a₁=1，d=1时，A∩B=∅，
∴当a₁≠0时，一定有A∩B≠∅是不正确的．

点评：本题考查解析几何与数列的综合题目，这是一个中档题目，对于数列的应用考查的比较多，这种题目可以作为高考卷的压轴题目出现，题目中对于最后一问的证明要注意应用前面的结论．