题目内容

定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，.

（Ⅰ）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求k的取值范围；

（Ⅱ）已知数列的首项为2010，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；

（Ⅲ）根据“保三角形函数”的定义，对函数，，和数列1，，，（）提出一个正确的命题，并说明理由．

 

【答案】

（Ⅰ），（Ⅱ）先求出数列的通项公式，然后根据“三角形”数列的定义证明即可，（3）函数，是数列1，1+d，1+2d 的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d，1+2d是三角形数列，所以，即．②数列中的各项必须在定义域内，即.

③是三角形数列.由于，是单调递减函数，所以，解得．

【解析】

试题分析：（1）显然，对任意正整数都成立，

即是三角形数列．                              2分

因为k>1，显然有，由得，解得.

所以当时，是数列的“保三角形函数”.   5分

（2）由得,两式相减得

所以，，

经检验，此通项公式满足                7分

显然，因为，

所以 是“三角形”数列．                         10分

（3）探究过程：　函数，是数列1，1+d，1+2d 的“保三角形函数”，必须满足三个条件：

①1，1+d，1+2d是三角形数列，所以，即．

②数列中的各项必须在定义域内，即.

③是三角形数列.

由于，是单调递减函数，所以，解得．

考点：本题考查了数列的运用

点评：本题是在新定义下对数列的综合考查．关于新定义的题型，在作题过程中一定要理解定义，并会用定义来解题．

 

练习册系列答案
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定义：如果数列{an}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{an}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{an}，如果函数y=f（x）使得bn=f（an）仍为一个“三角形”数列，则称y=f（x）是数列{an}的“保三角形函数”（n∈N*）．
（Ⅰ）已知{an}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=kx（k＞1）是数列{an}的“保三角形函数”，求k的取值范围；
（Ⅱ）已知数列{cn}的首项为2013，Sn是数列{cn}的前n项和，且满足4Sn+1-3Sn=8052，证明{cn}是“三角形”数列；
（Ⅲ）若g（x）=lgx是（Ⅱ）中数列{cn}的“保三角形函数”，问数列{cn}最多有多少项？
（解题中可用以下数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg2013≈3.304）
（2010•青浦区二模）[理科]定义：如果数列{an}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{an}为“三角形”数列．对于“三角形”数列{an}，如果函数y=f（x）使得bn=f（an）仍为一个“三角形”数列，则称y=f（x）是数列{an}的“保三角形函数”，（n∈N*）．
（1）已知{an}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（x）=kx，（k＞1）是数列{an}的“保三角形函数”，求k的取值范围；
（2）已知数列{cn}的首项为2010，Sn是数列{cn}的前n项和，且满足4Sn+1-3Sn=8040，证明{cn}是“三角形”数列；
（3）根据“保三角形函数”的定义，对函数h（x）=-x2+2x，x∈[1，A]，和数列1，1+d，1+2d（d＞0）提出一个正确的命题，并说明理由．

定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，.

（Ⅰ）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求k的取值范围；

（Ⅱ）已知数列的首项为2010，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；

（Ⅲ）根据“保三角形函数”的定义，对函数，，和数列1，，，（）提出一个正确的命题，并说明理由．

 

 

定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，.

 (1)已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求k的取值范围；

(2)已知数列的首项为2010，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；

(3) 若是(2)中数列的“保三角形函数”，问数列最多有多少项．

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