Question

已知函数f(x)=x-

1

x

．
（1）讨论并证明函数f（x）在区间（0，+∞）的单调性；
（2）若对任意的x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用单调性的定义，根据步骤：取值，作差，变形，定号下结论，即可得到结论；
（2）原不等式等价于2mx-

1

mx

-

m

x

＜0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，等价于2mx2-m-

1

m

＜0对任意的x∈[1，+∞）恒成立，从而可得m＜0，且2m-m-

1

m

＜0，进而可求实数m的取值范围．

解答：解：（1）函数f（x）在（0，+∞）上单调增
证明：任取0＜x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=(x1-

1

x1

)-(x2-

1

x2

)=(x1-x2)(1+

1

x1x 2

)，
∵0＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0
∴(x1-x2)(1+

1

x1x 2

)＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以函数f（x）在（0，+∞）上单调增
（2）原不等式等价于2mx-

1

mx

-

m

x

＜0对任意的x∈[1，+∞）恒成立
整理得，2mx2-m-

1

m

＜0对任意的x∈[1，+∞）恒成立
若m＞0，则左边对应的函数，开口向上，故x∈[1，+∞）时，必有大于0的函数值
∴m＜0，且2m-m-

1

m

＜0，
∴m＜0，且

m2-1

m

＜0
∴m＜-1

点评：本题重点考查函数的单调性，考查函数恒成立问题，依据单调性的定义，正确转化是解题的关键．