题目内容
设已知点A(3，0)，B(0，3)，C(cosα，sinα)，α∈(
，
)．
（Ⅰ）若|
|=|
|，求角α的值；
（Ⅱ）若
•
=-1，求
的值．
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
（Ⅰ）若|
| AC |
| BC |
（Ⅱ）若
| AC |
| BC |
| 2cos2α+sin2α |
| 1+cotα |
分析：（Ⅰ）解法一，依题意，由|
|=|
|，可求得cosα=sinα，结合题意可求得角α的值；
解法二，由|
|=|
|，可知点C在直线y=x上，而α∈（
，
），可求得角α的值；
（Ⅱ）由
•
=-1，可求得sinα+cosα=
，将所求关系式切化弦后得
=2sinαcosα，利用（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα即可求得答案．
| AC |
| BC |
解法二，由|
| AC |
| BC |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
（Ⅱ）由
| AC |
| BC |
| 2 |
| 3 |
| 2cos2α+sin2α |
| 1+cotα |
解答：解：（Ⅰ）解法一：∵A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），
∴
=（cosα-3，sinα），
=（cosα，sinα-3）． …（2分）
由|
|=|
|，得
=
．
即cosα=sinα． …（4分）
∵
＜α＜
，
∴α=
．…（6分）
解法二：∵|
|=|
|，
∴点C在直线y=x上．…（3分）
则sinα=cosα． …（4分）
∵α∈（
，
），
∴α=
．…（6分）
（Ⅱ）
=
=
=2sinαcosα．…（8分）
由
•
=-1，得（cosα-3）cosα+sinα（sinα-3）=-1．…（10分）
即 sinα+cosα=
．
∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=
，即2sinαcosα=-
． …（12分）
∴
=-
．…（13分）
∴
| AC |
| BC |
由|
| AC |
| BC |
| (cosα-3)2+sin2α |
| cos2α+(sinα-3)2 |
即cosα=sinα． …（4分）
∵
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
∴α=
| 5π |
| 4 |
解法二：∵|
| AC |
| BC |
∴点C在直线y=x上．…（3分）
则sinα=cosα． …（4分）
∵α∈（
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
∴α=
| 5π |
| 4 |
（Ⅱ）
| 2cos2α+sin2α |
| 1+cotα |
| 2cos2α+2sinαcosα | ||
1+
|
=
| 2cosα(cosα+sinα) | ||
|
由
| AC |
| BC |
即 sinα+cosα=
| 2 |
| 3 |
∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=
| 4 |
| 9 |
| 5 |
| 9 |
∴
| 2cos2α+sin2α |
| 1+cotα |
| 5 |
| 9 |
点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查平面向量数量积的坐标运算，考查综合分析与运算的能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知点M(-3，0)，N(3，0)，设P(x，y)是曲线
+
=1上的点，则下列式子恒成立的是（ ）
| |x| |
| 5 |
| |y| |
| 4 |
| A、|PM|+|PN|=10 |
| B、|PM|-|PN|=10 |
| C、|PM|+|PN|≥10 |
| D、|PM|+|PN|≤10 |
，且x∈[0，2π)，求x的值
，求f(x)的最大值，并求使f(x)取得最大值时x的值