题目内容
若△ABC的三边长为连续三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acos A，则sin A：sin B：sin C=
6：5：4
6：5：4
．分析：由题意可得三边即 a、a-1、a-2，由余弦定理表示出cosA再由3b=20acosA，可表示出cosA，从而列出关于a的方程，由此解得a=6，可得三边长，根据sinA：sinB：sinC=a：b：c，求得结果．
解答：解：由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，
可设三边长分别为 a、a-1、a-2，
由余弦定理可得：cosA=
=
=
，
又3b=20acosA，可得：cosA=
=
，
故有
=
，
解得a=6，故三边分别为6，5，4，
由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a-1）：（a-2）=6：5：4，
故答案为：6：5：4
可设三边长分别为 a、a-1、a-2，
由余弦定理可得：cosA=
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| (a-1)2+(a-2)2-a2 |
| 2(a-1)(a-2) |
| a-5 |
| 2(a-2) |
又3b=20acosA，可得：cosA=
| 3b |
| 20a |
| 3a-3 |
| 20a |
故有
| a-5 |
| 2(a-2) |
| 3a-3 |
| 20a |
解得a=6，故三边分别为6，5，4，
由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a-1）：（a-2）=6：5：4，
故答案为：6：5：4
点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
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