Question

（文）已知A={x|

1

2

≤x≤2}，f（x）=x²+px+q和g(x)=x+

1

x

+1是定义在A上的函数，当x、x₀∈A时，有f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀），且f（x₀）=g（x₀），则f（x）在A上的最大值是

4

．

Answer 1

分析：由已知很容易得到函数g（x）=x+

1

x

+1 在区间[

1

2

，2]上的最小值为g（1）=3，于是函数f（x）=x²+px+q也在x=1处取到最小值f（1），从而可得二次函数的对称轴为x=1，下面只需代入数值即可求解．

解答：解：∵当x、x₀∈A时，有f（x）≥f（x₀），g（x）≥g（x₀），
∴f（x₀），g（x₀）分别为函数f（x），g（x）的最小值
∵x，x0∈[

1

2

，2]
∴g(x)=x+

1

x

+1≥2

x• 1 x

+1=3即g（x₀）=3，此时x₀=1
∵f（x₀）=g（x₀），则f（x₀）=f（1）=3
∴

- p 2 =1 1+p+q=3

∴p=-2，q=4
∴f（x）=x²-2x+4在[

1

2

，2]上的最大值为f（2）=4
故答案为：4

点评：本题考查利用基本不等式求解函数在区间上最值的方法，考查二次函数的性质的应用；考查函数与方程，转化与化归等数学思想方法．