Question

（05年天津卷）（12分）

如图，在斜三棱柱中，，，，侧面与底面ABC所成的二面角为120，E、F分别是棱、的中点。

（Ⅰ）求与底面ABC所成的角；

（Ⅱ）证明EA∥平面；

（Ⅲ）求经过、A、B、C四点的球的体积。

Answer 1

解析：（I）过作平面平面，垂足为。连接，并延长交于，连接，于是为与底面所成的角。

因为，所以为的平分线

又因为，所以，且为的中点

因此，由三垂线定理

因为，且，所以，于是为二面角的平面角，即

由于四边形为平行四边形，得

所以，与底面所成的角度为

（II） 证明：设与的交点为，则点P为EG的中点，连结PF。

在平行四边形中，因为F是的中点，所以

而EP平面，平面，所以平面

（III）解：连接。在△和△中，
 △△

又因为平面，所以是△的外心

设球心为，则必在上，且

在Rt△中，△

球的体积△