Question

12．函数f（x）=ax³+bx+c的图象关于原点对称且过点（1，1），（2，26）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）设P为函数f（x）（x∈（0，+∞））图象上一点，求点P到直线y=9x-10的最短距离．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f（-x）=-f（x），从而可得c=0，再由$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{8a+2b=26}\end{array}\right.$解得；
（2）求导f′（x）=12x²-3=3（2x+1）（2x-1），从而判断函数的单调性；
（3）由12x²-3=9解得x=±1，从而可得f（x）=4x³-3x的斜率为9的切线的切点为（1，1）；从而可得点P到直线y=9x-10的最短距离为点（1，1）到直线y=9x-10的距离，从而解得．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx+c的图象关于原点对称，
∴f（-x）=-f（x），
∴-ax³-bx+c=-（ax³+bx+c），
∴c=0，
∵点（1，1），（2，26）在函数f（x）的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=1}\\{8a+2b=26}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴f（x）=4x³-3x；
（2）∵f（x）=4x³-3x，
∴f′（x）=12x²-3=3（2x+1）（2x-1），
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，-$\frac{1}{2}$），（$\frac{1}{2}$，+∞）；
单调减区间为（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
（3）由12x²-3=9解得，x=±1，
∴f（x）=4x³-3x的斜率为9的切线的切点为（1，1）；
∴切线方程为y=9x-8，
∴点P到直线y=9x-10的最短距离为点（1，1）到直线y=9x-10的距离，
∴d=$\frac{|9×1-1-10|}{\sqrt{81+1}}$=$\frac{\sqrt{82}}{41}$，
故点P到直线y=9x-10的最短距离为$\frac{\sqrt{82}}{41}$．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的判断与应用．