Question

设M是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y轴方向伸长为原来5倍的伸压变换．
（1）求直线4x-10y=1在M作用下的方程；
（2）求M的特征值与特征向量．

Answer 1

分析：（1）先求伸压变换M=

1 0 0 5

，再求出点的变换规律，代入4x-10y=1，从而求出方程；（2）由矩阵M的特征多项式f(λ)=

.

λ-1 0 0 λ-5

.

=(λ-1)(λ-5)=0，所以M的特征值为λ₁=1，λ₂=5，进而求出对应的特征向量．

解答：（1）M=

1 0 0 5

．设（x'，y'）是所求曲线上的任一点，

1 0 0 5

x y

=

x′ y′

，
所以

x′=x y′=5y

所以

x=x′ y= 1 5 y′

代入4x-10y=1得，4x'-2y'=1，
所以所求曲线的方程为4x-2y=1．
（2）矩阵M的特征多项式f(λ)=

.

λ-1 0 0 λ-5

.

=(λ-1)(λ-5)=0，
所以M的特征值为λ₁=1，λ₂=5．
当λ₁=1时，由Mα₁=λ₁α₁，得特征向量α1=

1 0

；
当λ₂=5时，由Mα₂=λ₂α₂，得特征向量α2=

0 1

．

点评：本题考查矩阵的性质和应用、特征值与特征向量的计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．细