Question

f（x）是定义在[-2π，2π]上的偶函数，当x∈[0，π]时，f（x）=2cosx，当x∈（π，2π]时，y=f（x）的图象是斜率为

4

π

，在y轴上截距为-2的直线在相应区间上的部分． 
（1）求f(-2π)，f(-

π

6

)的值；    
（2）写出函数y=f（x）的表达式，作出图象，并写出函数的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由题意可得：当x∈（π，2π]时，y=f(x)=

4

π

x-2，再根据函数的奇偶性可得：f（-2π）=f（2π）与f(-

π

6

)=f(

π

6

)，进而结合题中的条件可得答案．
（2）设x∈[-2π，-π），则-x∈（π，2π]，由题得：当x∈（π，2π]时，y=f(x)=

4

π

x-2，可得y=f(-x)=-

4

π

x-2，进而结合函数的奇偶性可得当x∈[-2π，-π)时，f(x)=-

4

π

x-2；
同理可得：当x∈[-π，0]时，f（x）=2cosx，即可得到答案．

解答：解：（1）因为当x∈（π，2π]时，y=f（x）的图象是斜率为

4

π

，在y轴上截距为-2的直线在相应区间上的部分，
所以当x∈（π，2π]时，y=f(x)=

4

π

x-2，
又因为y=f（x）是偶函数
所以f(-2π)=f(2π)=

4

π

•2π-2=6．
又当x∈[0，π]时，f（x）=2cosx，
所以f(-

π

6

)=f(

π

6

)=2•cos

π

6

=

3

．
（2）设x∈[-2π，-π），则-x∈（π，2π]，
因为当x∈（π，2π]时，y=f(x)=

4

π

x-2，
所以y=f(-x)=-

4

π

x-2，
又因为f（x）是定义在[-2π，2π]上的偶函数，
所以当x∈[-2π，-π)时，f(x)=-

4

π

x-2；
同理可得：当x∈[-π，0]时，f（x）=2cosx，
所以f(x)=

- 4 π x-2，x∈[-2π，-π) 2cosx    x∈[-π，π] 4 π x-2   x∈(π，2π]

其图象在[-2π，2π]上的图象如图所示，
故函数的递增区间为[-π，0]，（π，2π]；递减区间为[-2π，-π），[0，π]

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，如奇偶性、单调性、函数值、图象等性质，以及函数性质的综合应用与直线的点斜式方程，此题综合性较强属于中档题．