题目内容
如图，点B在以PA为直径的圆周上，点C在线段AB上，已PA=5，PB=3，PC=15
| ||
| 7 |
（1）求β；
（2）求向量
| AC |
| PC |
| AC |
| PC |
分析：（1）据圆周角为直角，通过解直角三角形及两角和的余弦公式及正余弦的平方公式求出α，α-β的正切，求出β的正切得角β．
（2）将未知向量
用已知向量
，
表示，利用向量的分配律求出数量积．
（2）将未知向量
| AC |
| PC |
| PA |
解答：解：（1）：因为点B在以PA为直径的圆周上，所以∠ABP=90°，
所以cosα=
=
，sinα=
．
所以tanα=
，
cos∠CPB=cos(α-β)=
=
=
，sin(α-β)=
，
所以tan(α-β)=
，
tanβ=tan[α-(α-β)]=
=1，
又β∈(0，
)，所以β=
．
（2）
•
=(
-
)•
=
2-
•
=(
)2-5×
×
=-
故答案为β=
；
•
=-
所以cosα=
| PB |
| PA |
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
所以tanα=
| 4 |
| 3 |
cos∠CPB=cos(α-β)=
| PB |
| PC |
| 3 | ||||
|
7
| ||
| 10 |
| ||
| 10 |
所以tan(α-β)=
| 1 |
| 7 |
tanβ=tan[α-(α-β)]=
| tanα-tan(α-β) |
| 1+tanαtan(α-β) |
又β∈(0，
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
（2）
| AC |
| PC |
| PC |
| PA |
| PC |
| PC |
| PA |
| PC |
=(
15
| ||
| 7 |
15
| ||
| 7 |
| ||
| 2 |
| 75 |
| 49 |
故答案为β=
| π |
| 4 |
| AC |
| PC |
| 75 |
| 49 |
点评：本题考查解直角三角形；通过三角函数值求角；平面向量的基本定理；向量数量积的运算律等．
练习册系列答案
相关题目
，设∠APB=α，∠APC=β，α，β均为锐角．
的数量积
的值．
，设∠APB=α，∠APC=β，α，β均为锐角．
的数量积
的值．
，设∠APB=α，∠APC=β，α，β均为锐角．
的数量积
的值．