Question

已知f（x）=|x-1|+|x+2|．
（1）解不等式f（x）≥5；
（2）若关于x的不等式f（x）＞a²-2a对于任意的x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）不等式即|x-1|+|x+2|≥5，由于|x-1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到-2和1对应点的距离之和，而-3和2对应点到-2和1对应点的距离之和正好等于5，由此求得不等式的解集．
（2）若关于x的不等式f（x）＞a²-2a对于任意的x∈R恒成立，故f（x）的最小值大于a²-2a．而由绝对值的意义可得f（x）的最小值为3，可得 3＞a²-2a，由此解得a的范围．

解答：解：（1）不等式即|x-1|+|x+2|≥5，由于|x-1|+|x+2|表示数轴上的x对应点到-2和1对应点的距离之和，
而-3和2对应点到-2和1对应点的距离之和正好等于5，故不等式的解集为（-∞，-3]∪[2，+∞）．
（2）若关于x的不等式f（x）＞a²-2a对于任意的x∈R恒成立，故f（x）的最小值大于a²-2a．
而由绝对值的意义可得f（x）的最小值为3，
∴3＞a²-2a，解得-1＜a＜3，
故所求的a的取值范围为（-1，3）．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．