题目内容

已知函数f1（x）=x，f2（x）=x2，f3（x）=x3，f4（x）=sinx，f5（x）=cosx，f6（x）=lg（|x|+1），将它们分别写在六张卡片上，放在一个盒子中，
（Ⅰ）现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到一个新函数，求所得的函数是奇函数的概率；
（Ⅱ）从盒子中任取两张卡片，已知其中一张卡片上的函数为奇函数，求另一张卡片上的函数也是奇函数的概率；
（Ⅲ）现从盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数ξ的分布列和数学期望．
分析：（Ⅰ）利用组合的方法求出现从盒子中任取两张卡片构成新函数的个数，利用组合的方法求所得函数是奇函数的个数
利用古典概型的概率公式求出的所得的函数是奇函数的概率概率；
（Ⅱ）利用组合的方法求出各个事件包含的基本事件数，利用条件概率的概率公式求出事件的概率．
（III）求出ξ可能取值，求出其取每一个值的 概率值，列出分布列，利用期望的公式求出其期望．
解答：解：（Ⅰ）P=
C
2
3
C
2
6
=
1
5
-----（3分）
（Ⅱ）P=
C
2
3
C
2
6
C
2
6
-
C
2
3
C
2
6
=
C
2
3
C
2
6
-
C
2
3
=
1
4
-------（7分）
（Ⅲ）ξ可能取值1，2，3，4-----（8分）
P(ξ=1)=
C
1
3
C
1
6
=
1
2
，
P(ξ=2)=
C
1
3
C
1
6
•
C
1
3
C
1
5
=
3
10
，
P(ξ=3)=
C
1
3
C
1
6
•
C
1
2
C
1
5
•
C
1
3
C
1
4
=
3
20
，
P(ξ=4)=
C
1
3
C
1
6
•
C
1
2
C
1
5
•
C
1
1
C
1
4
=
1
20
-----------（10分）
ξ 1 2 3 4
P
1
2
3
10
3
20
1
20
ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4
p
10
20
6
20
3
20
1
20
则Eξ=1×
1
2
+2×
3
10
+3×
3
20
+4×
1
20
=
7
4
----------------------------（12分）
点评：本题考查离散型随机变量的期望与方差，解答本题关键是理解所研究的事件以及事件概率的求法公式，期望求法公式，本题是概率中考查比较全面的题型，涉及到了事件的性质，概率的求法，期望的求法，是近几年高考中概率考试比较常见的题型
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已知函数f1（x）=e|x-2a+1|，f2（x）=e|x-a|+1，x∈R．
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（3）当4≤a≤6时，求函数g（x）=
f1(x)+f2(x)
2
-
|f1(x)-f2(x)|
2
在x∈[1，6]上的最小值．
已知函数f1（x）=sinx，且fn+1（x）=fn′（x），其中n∈N*，求f1（x）+f2（x）+…+f100（x）的值．
（2013•宁德模拟）已知函数f1（x）=
1
2
x2，f2（x）=alnx（a∈R）•
（I）当a＞0时，求函数．f（x）=f1（x）•f2（x）的极值；
（II）若存在x0∈[1，e]，使得f1（x0）+f2（x0）≤（a+1）x0成立，求实数a的取值范围；
（III）求证：当x＞0时，lnx+
3
4x2
-
1
ex
＞0．
（说明：e为自然对数的底数，e=2.71828…）
已知函数f1（x）=mx2的图象过点（1，1），函数y=f2（x）的图象关于直线x=a对称，且x≥a时f2（x）=x-a，若f（x）=f1（x）f2（x）．
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求函数y=f（x）在区间[2，3]上的最小值．

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