已知:集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:在定义域内存在x0.使得f(x0+1)＝f(x0)+f(1)成立．＝是否属于集合M?说明理由, ＝lg.求实数a的取值范围, ＝2x+x2∈M．题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

已知：集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体：在定义域内存在x₀，使得f(x₀＋1)＝f(x₀)＋f(1)成立．

(1)函数f(x)＝是否属于集合M？说明理由；

(2)设函数f(x)＝lg，求实数a的取值范围；

(3)证明：函数f(x)＝2^x＋x²∈M．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)f(x)＝的定义域为，

　　令，整理得x²＋x＋1＝0，Δ＝－3＜0，

　　因此，不存在x使得f(x＋1)＝f(x)＋f(1)成立，所以f(x)＝；　3分

　　(Ⅱ)f(x)＝lg的定义域为R，f(1)＝lg，a＞0，

　　若f(x)＝lgM，则存在x∈R使得lg＝lg＋lg，

　　整理得存在x∈R使得(a²－2a)x²＋2a²x＋(2a²－2a)＝0．

　　(1)若a²－2a＝0即a＝2时，方程化为8x＋4＝0，解得x＝－，满足条件：

　　(2)若a²－2a≠0即a时，令Δ≥0，解得a∈，综上，a∈[3－，3＋]；　7分

　　(Ⅲ)f(x)＝2^x＋x²的定义域为R，

　　令2^x＋1＋(x＋1)²＝(2^x＋x²)＋(2＋1)，整理得2^x＋2x－2＝0，

　　令g(x)＝2^x＋2x－2，所以g(0)·g(1)＝－2＜0，

　　即存在x₀∈(0，1)使得g(x)＝2^x＋2x－2＝0，

　　亦即存在x₀∈R使得2^x＋1＋(x＋1)²＝(2^x＋x²)＋(2＋1)，故f(x)＝2^x＋x²∈M．　10分

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f（x＋1）＝f（x）＋f（1）成立。

（1）函数f（x）＝是否属于集合M？说明理由；

（2）设函数f（x）＝lg，求实数a的取值范围；

（3）证明：函数f（x）＝2＋xM。