题目内容

(2013•和平区一模)如图,在直三棱柱ABC-A1BlC1中,AC=BC=
2
,∠ACB=90°.AA1=2,D为AB的中点.
(Ⅰ)求证:AC⊥BC1
(Ⅱ)求证:AC1∥平面B1CD:
(Ⅲ)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
分析:(I)先证线面垂直,再由线面垂直证明线线垂直即可;
(II)作平行线,由线线平行证明线面平行即可;
(III)先证明∠CED为异面直线所成的角,再在三角形中利用余弦定理计算即可.
解答:解:(I)证明:∵CC1⊥平面ABC,AC?平面ABC,∠ACB=90°,
∴CC1⊥AC,AC⊥BC,又BC∩CC1=C,
∴AC⊥平面BCC1,BC1?平面BCC1
∴AC⊥BC1
(II)证明:如图,设CB1∩C1B=E,连接DE,
∵D为AB的中点,E为C1B的中点,∴DE∥AC1
∵DE?平面B1CD,AC1?平面B1CD,
∴AC1∥平面B1CD.
(III)解:由DE∥AC1,∠CED为AC1与B1C所成的角,
在△CDE中,DE=
1
2
AC1=
1
2
AC2+CC12
=
6
2

CE=
1
2
B1C=
1
2
BC2+BB12
=
6
2
,CD=
1
2
AB=
1
2
AC2+BC2
=1,
cos∠CED=
CE2+DE2-CD2
2×CE×DE
=
3
2
+
3
2
-1
6
2
×
6
2
=
2
3

∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为
2
3
点评:本题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线及其所成的角.
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