题目内容

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(Ⅰ)求证:AC⊥BC1;
(Ⅱ)求证:AC1∥平面B1CD:
(Ⅲ)求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.
分析:(I)先证线面垂直,再由线面垂直证明线线垂直即可;
(II)作平行线,由线线平行证明线面平行即可;
(III)先证明∠CED为异面直线所成的角,再在三角形中利用余弦定理计算即可.
(II)作平行线,由线线平行证明线面平行即可;
(III)先证明∠CED为异面直线所成的角,再在三角形中利用余弦定理计算即可.
解答:解:(I)证明:∵CC1⊥平面ABC,AC?平面ABC,∠ACB=90°,
∴CC1⊥AC,AC⊥BC,又BC∩CC1=C,
∴AC⊥平面BCC1,BC1?平面BCC1,
∴AC⊥BC1.
(II)证明:如图,设CB1∩C1B=E,连接DE,
∵D为AB的中点,E为C1B的中点,∴DE∥AC1,
∵DE?平面B1CD,AC1?平面B1CD,
∴AC1∥平面B1CD.
(III)解:由DE∥AC1,∠CED为AC1与B1C所成的角,
在△CDE中,DE=
AC1=
=
,
CE=
B1C=
=
,CD=
AB=
=1,
cos∠CED=
=
=
,
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为
.
∴CC1⊥AC,AC⊥BC,又BC∩CC1=C,
∴AC⊥平面BCC1,BC1?平面BCC1,
∴AC⊥BC1.

(II)证明:如图,设CB1∩C1B=E,连接DE,
∵D为AB的中点,E为C1B的中点,∴DE∥AC1,
∵DE?平面B1CD,AC1?平面B1CD,
∴AC1∥平面B1CD.
(III)解:由DE∥AC1,∠CED为AC1与B1C所成的角,
在△CDE中,DE=
1 |
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1 |
2 |
AC2+CC12 |
| ||
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CE=
1 |
2 |
1 |
2 |
BC2+BB12 |
| ||
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
AC2+BC2 |
cos∠CED=
CE2+DE2-CD2 |
2×CE×DE |
| ||||||||
2×
|
2 |
3 |
∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为
2 |
3 |
点评:本题考查线线垂直的判定、线面平行的判定、异面直线及其所成的角.

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