题目内容

已知f（x）在x=a处可导，且f′（a）=b，求下列极限：
（1）
lim
△h→0
f(a+3h)-f(a-h)
2h
；
（2）
lim
△h→0
f(a+h2)-f(a)
h
．
分析：（1）利用导数的定义把
lim
△h→0
f(a+3h)-f(a-h)
2h
转化为
lim
h→0
f(a+3h)-f(a)+f(a)-f(a-h)
2h
，然后整理为
3
2
lim
h→0
f(a+3h)-f(a)
3h
+
1
2
lim
h→0
f(a-h)-f(a)
-h
，由此可得
lim
△h→0
f(a+3h)-f(a-h)
2h
．

（2）利用导数的定义把
lim
△h→0
f(a+h2)-f(a)
h
转化为
lim
h→0
[
(a+h2) -f(a)
h2
h]，然后整理为
lim
h→0
f(a+h2) -f(a)
h2
•
lim
h→0
h，由此可得
lim
△h→0
f(a+h2)-f(a)
h
的值．
解答：解：（1）
lim
△h→0
f(a+3h)-f(a-h)
2h
=
lim
h→0
f(a+3h)-f(a)+f(a)-f(a-h)
2h

=
lim
h→0
f(a+3h)-f(a)
2h
+
lim
h→0
f(a)-f(a-h)
2h

=
3
2
lim
h→0
f(a+3h)-f(a)
3h
+
1
2
lim
h→0
f(a-h)-f(a)
-h

=
3
2
f′ (a)+
1
2
f′(a)=2b．
（2）
lim
△h→0
f(a+h2)-f(a)
h
=
lim
h→0
[
(a+h2) -f(a)
h2
h]
=
lim
h→0
f(a+h2) -f(a)
h2
•
lim
h→0
h=f′（a）•0=0．
点评：本题考查导数的定义，解题时要熟练掌握导数的概念．
练习册系列答案
相关题目
已知f 1(x)=|3x-1|，f2(x)=|a•3x-9|(a＞0)，x∈R，且f（x）=
f1(x)，f1(x)≤f2(x)
f2(x)，f1(x)＞f2(x)

（1）当a=1时，求f（x）的解析式；
（2）在（1）的条件下，若方程f（x）-m=0有4个不等的实根，求实数m的范围；
（3）当2≤a＜9时，设f（x）=f2（x）所对应的自变量取值区间的长度为l（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），试求l的最大值．
已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=-x2+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2
（1）求b，c的值；
（2）求f（x）在x＜0时的表达式；
（3）若关于x的方程f（x）=ax，（a∈R）有解，求a的取值范围．
（2010•上海模拟）已知f（x）在x∈[a，b]上的最大值为M，最小值为m，给出下列五个命题：
①若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，m]；
②若对任何x∈[a，b]都有p≤f（x），则p的取值范围是（-∞，M]；
③若关于x的方程p=f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是[m，M]；
④若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，m]；
⑤若关于x的不等式p≤f（x）在区间[a，b]上有解，则p的取值范围是（-∞，M]；
其中正确命题的个数为（　　）

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若数学公式，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间数学公式上的值域为数学公式，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x2-kx3．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间上的值域为，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

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