题目内容

设x₁、x₂是函数 $数学公式$ 的两个极值点．
（1）若x₁＜2＜x₂＜4，求证：f′（-2）＞3；
（2）如果|x₁|＜2，|x₂-x₁|=2，求b的取值范围；
（3）如果a≥2，且x₂-x₁=2，x∈（x₁，x₂）时，求函数g（x）=|f′（x）+2（x-x₂）|的最大值h（a）．

解：由已知：f'（x）=ax²+（b-1）x+1
故x₁，x₂是方程f'（x）=0的两根
（1）由于x₁＜2＜x₂＜4故 $\text{[math]}$ 由于f'（-2）=4a-2b+3
①×（-3）+②得：4a-2b＞0
∴f'（-2）＞3

（2）由韦达定理 $\text{[math]}$
故1-b= $\text{[math]}$
当0＜x₁＜2时，则 $\text{[math]}$ ＞0
这时，由|x₂-x₁|=2得x₂=x₁+2
即 $\text{[math]}$ 为增函数（也可用求导法来证），
故 $\text{[math]}$
当-2＜x₁＜0时，有x₁-x₂=2，则b=1- $\text{[math]}$ 也为增函数
故这时， $\text{[math]}$
综上，b的取值范围是 $\text{[math]}$

（3）∵a≥2，x₂-x₁=2故可设f'（x）=a（x-x₁）（x-x₂）
∴g（x）=|f' $\text{[math]}$
∵x∈（x₁，x₂）∴x-x₂＜0，x-x₁＞0，x-x₁+ $\text{[math]}$ ＞0
∴ $\text{[math]}$ +2
当且仅当x₂-x=x-x₁+ $\text{[math]}$ 等号成立．
∴h（a）=a+ $\text{[math]}$ +2a∈[2，+∞）．
分析：（1）利用导数与函数极值的关系列出关于a，b的不等式组是解决本题的关键，利用整体思想确定出f′（-2）的取值范围；
（2）建立b与x₁，x₂的关系是解决本题的关键．根据所得的函数表达式利用函数的单调性求出b的取值范围；
（3）写出函数g（x）的表达式是解决本题的关键，根据基本不等式求出函数的最大值h（a）．
点评：此题是个难题．本题属于函数与不等式的综合问题，利用导数的基本知识确定出相关的关系，列出相关的不等式进行综合转化．本题考查学生的转化与化归思想，考查不等式的基本方法和技巧．考查导数的工具作用．