题目内容

曲线y=f（x）=ax³+bx²+cx，当 $数学公式$ 时，f（x）有极小值，当 $数学公式$ 处有极大值，且在x=1处切线的斜率为 $数学公式$ ．
（I）求f（x）；
（II）曲线上是否存在一点P，使得y=f（x）的图象关于点P中心对称？若存在，请求出点P坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由．

解：（I）f′（x）=3ax²+2bx+c
∵当 $\text{[math]}$ 时，f（x）有极小值，当 $\text{[math]}$ 处有极大值
∴f′（1± $\text{[math]}$ ）=0
即1± $\text{[math]}$ 为方程3ax²+2bx+c=0的两根
∴- $\text{[math]}$ =（1+ $\text{[math]}$ ）+（1- $\text{[math]}$ ）
$\text{[math]}$ =（1+ $\text{[math]}$ ）（1- $\text{[math]}$ ）
∴b=-3a，c=-6a
又f（x）在x=1处切线的斜率为 $\text{[math]}$ ．
∴f′（1）= $\text{[math]}$
∴3a+2b+c= $\text{[math]}$
∴a=- $\text{[math]}$ ，b= $\text{[math]}$ ，c=1
∴f（x）=- $\text{[math]}$ x³+ $\text{[math]}$ x²+x
（II）假设存在P（x₀，y₀）满足则f（x₀+x）+f（x₀-x）=2y₀，
∴- $\text{[math]}$ （x₀+x）³+ $\text{[math]}$ （x₀+x）²+（x₀+x）- $\text{[math]}$ （x₀-x）³+ $\text{[math]}$ （x₀-x）²+（x₀-x）=2y₀，
化简得（1-x₀）x²+x₀²+2x₀- $\text{[math]}$ x₀³=2y₀，
∵上式任意x∈R等式成立
∴ $\text{[math]}$
∴x₀=1，y₀= $\text{[math]}$
∴曲线上存在P（1， $\text{[math]}$ ）满足题意
分析：（I）根据1± $\text{[math]}$ 是极值点可知f′（1± $\text{[math]}$ ）=0，以及f′（1）= $\text{[math]}$ 建立方程组，解之即可；
（II）假设存在P（x₀，y₀）满足则f（x₀+x）+f（x₀-x）=2y₀，代入函数解析式，化简整理可求出所求．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及函数在某点取得极值的条件，同时考查了方程组的解法，属于中档题．