Question

设a∈[-2，0]，已知函数f（x）=

x3-(a+5)x，x≤0 x3- a+3 2 x2+ax，x＞0

．
（Ⅰ） 证明f（x）在区间（-1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；
（Ⅱ） 曲线y=f（x）在点P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）处的切线相互平行，且满足x₁＜x₂＜x₃（x₁x₂x₃≠0），试求x₂、x₃、a所满足的关系式；
（Ⅲ）在第（Ⅱ）问的条件下，证明x1+x2+x3＞-

1

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，可得函数f₁（x）在区间（-1，0]内单调递减；函数f₂（x）在区间[0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增，即可得出结论；
（II）因为曲线y=f（x）在点P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）处的切线互相平行，所以x₁，x₂，x₃互不相等，且f'（x₁）=f'（x₂）=f'（x₃），所以x₁＜0＜x₂＜x₃，由3x12-(a+5)=3x22-(a+3)x2+a=3x32-(a+3)x3+a，可得x₂、x₃、a所满足的关系式；
（Ⅲ）设g（x）=3x²-（a+3）x+a，则g(

a+3

6

)＜g(x2)＜g(0)=a，可得x1+x2+x3＞-

2a+5 3

+

a+3

3

，换元，即可得到结论．

解答：（I）证明：设函数f1(x)=x3-(a+5)x（x≤0），f2(x)=x3-

a+3

2

x2+ax（x≥0），
①f1′(x)=3x2-(a+5)，由a∈[-2，0]，从而当-1＜x＜0时，f1′(x)=3x2-(a+5)＜3-a-5≤0，
所以函数f₁（x）在区间（-1，0]内单调递减；
②f2′(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1)，由于a∈[-2，0]，所以当0＜x＜1时，f₂'（x）＜0；
当x＞1时，f₂'（x）＞0．即函数f₂（x）在区间[0，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；
综合①，②及f₁（0）=f₂（0），可知函数f（x）在区间（-1，1）内单调递减，在区间（1，+∞）内单调递增；
（II）解：由（I）知f'（x）在区间（-∞，0）内单调递减，在区间(0，

a+3

6

)内单调递减，在区间(

a+3

6

，+∞)内单调递增．
因为曲线y=f（x）在点P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3）处的切线互相平行，
所以x₁，x₂，x₃互不相等，且f'（x₁）=f'（x₂）=f'（x₃），
所以x₁＜0＜x₂＜x₃，
由3x12-(a+5)=3x22-(a+3)x2+a=3x32-(a+3)x3+a，
可得3x22-3x32-(a+3)(x2-x3)=0，解得x2+x3=

a+3

3

，且0＜x2＜

a+3

6

＜x3；
（Ⅲ）证明：设g（x）=3x²-（a+3）x+a，则g(

a+3

6

)＜g(x2)＜g(0)=a．
由3x12-(a+5)=g(x2)＜a，解得-

2a+5 3

＜x1＜0，
所以x1+x2+x3＞-

2a+5 3

+

a+3

3

，
设t=

2a+5 3

，则a=

3t2-5

2

，
因为a∈[-2，0]，所以t∈[

3

3

，

15

3

]，
故x1+x2+x3＞-t+

3t2+1

6

=

1

2

(t-1)2-

1

3

≥-

1

3

，
即x1+x2+x3＞-

1

3

．

点评：本题考查分段函数，考查导数知识的运用．考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，有难度．