Question

（本小题13分）如图，棱锥的底面是矩形，⊥平面，，

（1）求证：⊥平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求点到平面的距离.

 

Answer 1

【答案】

(1)见解析；（2）；（3）

【解析】

试题分析：(方法一)证明：（1）在中，，，

所以为正方形，因此. ∵⊥平面，平面，

∴.又∵, ∴⊥平面.                     ……４分               

（2）解：由⊥平面，知为在平面内的射影，

又,∴,知为二面角的平面角.   

 又∵,∴ .                                      ……９分                                                    

（3）∵，∴，

设到面的距离为，

由，有，                        

即，

得.                                                         ……1４分       

（方法二）证明：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系，

则、、.

在中，， ,∴，

∴   ∵，

即，又∵, ∴⊥平面.          ……４分               

解：（2）由（Ⅰ）得.

设平面的法向量为，则

即，∴  故平面的法向量可取为                               

∵⊥平面，∴为平面的法向量. 

设二面角的大小为，依题意可得，

∴                                                           ……９分                                                      

（3）由（Ⅰ）得，

设平面的法向量为，

则，即，∴，

故平面的法向量可取为.                             

∵，∴到面的距离为.          ……1４分

考点：本小题主要考查空间中线面垂直的证明、二面角以及点到平面的距离的求法，考查学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力和运算能力.

点评：解决空间中的平行、垂直以及距离等问题，有传统方法和向量方法两种方法，用传统方法时，要注意紧扣定理，把符合定理的条件都列出来；用向量方法时，运算量较大，要仔细、快速进行.