Question

如图，已知P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，　
(Ⅰ)求证：EF∥平面PAD；　　
(Ⅱ)求证：EF⊥CD；　　
(Ⅲ)若∠PDA=45°，求EF与平面ABCD所成的角的大小。

Answer 1

解：如图，建立空间直角坐标系A-xyz， 设AB=2a，BC=2b，PA=2c， 则A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，2b，0）， D（0，2b，0），P（0，0，2c）， ∵E为AB的中点，F为PC的中点， ∴E（a，0，0），F（a，b，c）， （Ⅰ）∵=（0，b，c），=（0，0，2c）， =（0，2b，0）， ∴， ∴与共面， 又∵平面PAD， ∴EF∥平面PAD。 （Ⅱ）∵=（-2a，0，0）， ∴=（-2a，0，0）·（0，b，c）=0， ∴EF⊥CD； （Ⅲ）若∠PDA=45°，则有2b=2c，即b=c， ∴=（0，b，b），=（0，0，2b）， ∴， ∴=45°， ∵AP⊥平面ABCD， ∴是平面ABCD的法向量， ∴EF与平面ABCD所成的角为 90°-=45°。