题目内容
关于某港口今后20年的发展规划，有如下两种方案：
方案甲：按现状进行运营．据测算，每年可收入760万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递增20万元．
方案乙：从明年起开始投资6000万元进行港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力．港口改造需用时4年，在此期间边改造边运营．据测算，开始改造后港口第一年的收入为320万元，在以后的3年中，每年收入都比上一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第4年的水平上．
（I）从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数）？
（II）从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？（注：收益=收入-投资）
方案甲：按现状进行运营．据测算，每年可收入760万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资50万元，以后逐年递增20万元．
方案乙：从明年起开始投资6000万元进行港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力．港口改造需用时4年，在此期间边改造边运营．据测算，开始改造后港口第一年的收入为320万元，在以后的3年中，每年收入都比上一年增长50%，而后各年的收入都稳定在第4年的水平上．
（I）从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数）？
（II）从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？（注：收益=收入-投资）
分析：（I）设从明年开始经过第n年，方案乙的累计总收益为正数．在方案乙中，前4年的总收入为
=2600＜6000，故n必定不小于5，则由260+320×1.54（n-4）＞6000，能求出n的最小值．
（II）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1，y2万元，则y1=760n-[50n+
×20]=-10n2+720n，当n≤4时，则y1＞0，y2＜0，可得y1＞y2；当n≥5时，y2=2600+320×1.54（n-4）-6000=1620n-9800，由此可得n的最小值．
| 320×(1-1.54) |
| 1-1.5 |
（II）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1，y2万元，则y1=760n-[50n+
| n(n-1) |
| 2 |
解答：解：（I）设从明年开始经过第n年，方案乙的累计总收益为正数．
在方案乙中，前4年的总收入为
=2600＜6000，
故n必定不小于5，则由260+320×1.54（n-4）＞6000，
解得n＞
，故n的最小值为7，
答：从明年开始至少经过7年，方案乙能收回投资．
（II）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1，y2万元，则y1=760n-[50n+
×20]=-10n2+720n，
当n≤4时，则y1＞0，y2＜0，可得y1＞y2；
当n≥5时，y2=2600+320×1.54（n-4）-6000=1620n-9800，
令y1＜y2，
可得1620n-9800＞-10n2+720n，
即n（n+90）＞998，
由10（10+90）＞9989（9+90）＜998，
可得n的最小值为10．
答：从明年开始至少经过10年，方案乙的累计总收益超过方案甲．
在方案乙中，前4年的总收入为
| 320×(1-1.54) |
| 1-1.5 |
故n必定不小于5，则由260+320×1.54（n-4）＞6000，
解得n＞
| 494 |
| 81 |
答：从明年开始至少经过7年，方案乙能收回投资．
（II）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收益分别为y1，y2万元，则y1=760n-[50n+
| n(n-1) |
| 2 |
当n≤4时，则y1＞0，y2＜0，可得y1＞y2；
当n≥5时，y2=2600+320×1.54（n-4）-6000=1620n-9800，
令y1＜y2，
可得1620n-9800＞-10n2+720n，
即n（n+90）＞998，
由10（10+90）＞9989（9+90）＜998，
可得n的最小值为10．
答：从明年开始至少经过10年，方案乙的累计总收益超过方案甲．
点评：本题考查数列在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．综合性强，是高考的重点，容易出错．解题时要注意不等式性质的灵活运用．
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