题目内容

已知a为正的常数，函数f（x）=|ax-x²|+lnx．
（1）若a=2，求函数f（x）的单调增区间；
（2）设 $数学公式$ ，求函数g（x）在区间[1，e]上的最小值．

解：（1）由a=2，得f（x）=|2x-x²|+lnx（x＞0）．
当0＜x＜2时， $\text{[math]}$ ．
由f^′（x）=0，得-2x²+2x+1=0，解得 $\text{[math]}$ ，或 $\text{[math]}$ （舍去）．
当 $\text{[math]}$ 时，f^′（x）＞0； $\text{[math]}$ 时，f^′（x）＜0．
∴函数f（x）的单调增区间为（0， $\text{[math]}$ ），（2，+∞）．
当x＞2时， $\text{[math]}$ ．
由f^′（x）=0，得2x²-2x+1=0．
f（x）在（2，+∞）上为增函数．
∴函数f（x）的单调增区间为（ $\text{[math]}$ ），（2，+∞）．
（2） $\text{[math]}$ ．
①若a≤1，则 $\text{[math]}$ ．则 $\text{[math]}$ ．
∵x∈[1，e]，∴0≤lnx≤1，1-lnx≥0，x²+1-lnx≥0，∴g^′（x）＞0．
∴g（x）在[1，e]上为增函数，∴g（x）的最小值为g（1）=1-a．
②a≥e，则g（x）=a-x+ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
令h（x）-x²+1-lnx，则 $\text{[math]}$ ．
所以h（x）在[1，e]上为减函数，则h（x）≤h（1）=0．
所以g（x）在[1，e]上为减函数，所以g（x）的最小值为g（e）=a-e+ $\text{[math]}$ ．
③当1＜a＜e， $\text{[math]}$ ，
由①，②知g（x）在[1，a]上为减函数，在[a，e]上为增函数，
∴g（x）的最小值为g（a）= $\text{[math]}$ ．
综上得g（x）的最小值为g（a）= $\text{[math]}$
分析：（1）把a=2代入函数解析式，由绝对值内的代数式等于0求得x的值，由解得的x的值把定义域分段，去绝对值后求导，利用导函数求每一段内的函数的增区间，则a=2时的函数的增区间可求；
（2）把f（x）的解析式代入 $\text{[math]}$ ，利用a与1和e的大小比较去绝对值，然后求出去绝对值后的函数的导函数，利用函数的单调性求出函数在区间[1，e]上的最小值．最后把求得的函数的最小值写成分段函数的形式即可．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了分类讨论得数学思想方法，考查了去绝对值的方法，正确的分类是解决该题的关键，属难题．