Question

某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．
（1）设MN与AB之间的距离为x米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；
（2）求△EMN的面积S（平方米）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分类求出MN在矩形区域、三角形区域滑动时，△EMN的面积，可得分段函数；
（2）分类求出△EMN的面积的最值，比较其大小，即可得到最值．
解答：解：（1）①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，即0＜x≤1时，△EMN的面积S==x；（1分）
②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，即1＜x＜时，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，
∵E为AB中点，
∴F为CD中点，GF⊥CD，且FG=．
又∵MN∥CD，∴△MNG∽△DCG．
∴，即．（4分）
故△EMN的面积S==； （6分）
综合可得：（7分）
（2）①当MN在矩形区域滑动时，S=x，所以有0＜S≤1；（8分）
②当MN在三角形区域滑动时，S=．
因而，当（米）时，S得到最大值，最大值S=（平方米）．
∵，
∴S有最大值，最大值为平方米．（12分）
点评：本题考查函数模型的建立，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，确定分段函数是关键．