Question

一条直线经过点P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）与x、y轴的正半轴交于A、B两点，且△AOB的面积最小（O为坐标原点）

Answer 1

【答案】分析：（1）设出所求直线的倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则tanα等于直线的斜率，由倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍得到θ=2α，利用二倍角的正切函数公式根据tanα的值求出tanθ的值即为所求直线的斜率，然后利用P点坐标和斜率写出直线方程即可；（2）设出直线的截距式方程为+=1（a＞0，b＞0），然后把P点代入后，根据基本不等式求出ab的最小值即可得到面积的最小值时a与b的值，根据a与b的比值求出直线的斜率，然后根据斜率和P点写出直线方程即可．
解答：解：（1）设所求直线倾斜角为θ，
已知直线的倾斜角为α，则θ=2α，
且tanα=，tanθ=tan2α==，
从而方程为8x-15y+6=0．

（2）设直线方程为+=1，a＞0，b＞0，
代入P（3，2），得+=1≥2，得ab≥24，
从而S_△AOB=ab≥12，
此时=，∴k=-=-．
∴方程为2x+3y-12=0．
点评：考查学生理解直线斜率与倾斜角的关系，灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值，会利用基本不等式求函数的最小值．会根据斜率和一点写出直线的方程．