Question

已知由正数组成的两个数列{a_n}，{b_n}，如果a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2b_n²x+a_nb_nb_n+1=0的两根．
（1）求证：{b_n}为等差数列；
（2）已知a₁=2，a₂=6，分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（3）求数{

bn

2n

}的前n项和S．

Answer 1

分析：（1）根据题中已知条件和函数中根与系数的关系便可求出b_n与b_n-1、b_n+1的关系，即可证明{b_n}为等差数列；
（2）将a₁=2，a₂=6代入a_n+a_n+1=2b_n²即可求出b₁的值，进而求出{b_n}的通项公式，然后将{b_n}的通项公式代入a_n=b_n-1b_n即可求出数列{a_n}的通项公式；
（3）将数列{b_n}的通项公式代入{

bn

2n

}中即可求出其表达式，然后求出其前n项和S_n的表达式，然后利用错位相减法求出

1

2

S_n的表达式，即可求出S_n的表达式．

解答：解：（1）由：a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2b_n²x+a_nb_nb_n+1=0的两根，
得：a_n+a_n+1=2b_n²，a_na_n+1=a_nb_nb_n+1…（2分）
∴2b_n²=b_n-1b_n+b_nb_n+1，
∵b_n＞0，
∴2b_n=b_n-1+b_n+1（n＞1）
∴{b_n}是等差数列              …（4分）
（2）由（1）知2b₁²=a₁+a₂=8，
∴b₁=2，
∵a₂=b₁b₂，
∴b₂=3，
∴b_n=n+1，
∴b_n-1=n…（6分）
a_n=b_n-1b_n=n（n+1）（n＞1）…（7分）
又a₁=2符合上式，∴a_n=n（n+1）…（9分）
（3）Sn=

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n+1

2n

①

1

2

Sn=

2

22

+

3

23

+…+

n+1

2n+1

②
①-②得

1

2

Sn=1+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

-

n+1

2n+1

…（13分）
=1+

1 4 (1- 1 2n+1 )

1- 1 2

-

n-1

2n+1

=1+

1

2

(1-

1

2n-1

)-

n-1

2n+1

∴Sn=3-

n+3

2n

…（16分）

点评：本题以函数中根与系数的关系为立足点考查了数列的通项公式及前n项和的求法，考查了学生的计算能力和对数列与函数的综合掌握，是各地高考的热点，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．