题目内容
已知两点
，直线AM、BM相交于点M，且这两条直线的斜率之积为
.
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）记点M的轨迹为曲线C，曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1，直线PE、PF与圆
（
）相切于点E、F，又PE、PF与曲线C的另一交点分别为Q、R.
求△OQR的面积的最大值（其中点O为坐标原点）.
【答案】
（Ⅰ）
（
）；（Ⅱ）
.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设点
的坐标为
则, 
,化简可得轨迹方程.
（Ⅱ）设出直线PE、PF的点斜式方程,分别求出它们与圆
（
）相切条件下与曲线C的另一交个交点Q、R.的坐标,写出直线
的方程,点到直线的距离公式可求
的底边
上的高.进而得出面积的表达式,再探索用基本不等式求该式最值的方法.
试题解析：（Ⅰ）设点
，
2分
整理得点M所在的曲线C的方程：（） 3分
（Ⅱ）由题意可得点P（
） 4分
因为圆的圆心为（1，0），
所以直线PE与直线PF的斜率互为相反数
----------5分
设直线PE的方程为
，
与椭圆方程联立消去
，得：
， 6分
由于
1是方程的一个解，
所以方程的另一解为
7分
同理
8分
故直线RQ的斜率为
=
9分
把直线RQ的方程
代入椭圆方程，消去
整理得
所以
10分
原点O到直线RQ的距离为
11分
. 12分
考点：1、动点轨迹方程的求法；2、直线与圆、圆锥曲线的位置关系；3、基本不等式的应用.
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