题目内容
【题目】如图, 为半圆
的直径,点
是半圆弧上的两点,
,
.曲线
经过点
,且曲线
上任意点
满足:
为定值.
(Ⅰ)求曲线 的方程;
(Ⅱ)设过点 的直线
与曲线
交于不同的两点
,求
面积最大时的直线
的方程.
【答案】解:(Ⅰ)根据椭圆的定义,曲线 是以
为焦点的椭圆,其中
,
.
,
,
,曲线
的方程为
;
(Ⅱ)设过点 的直线
的斜率为
,则
.
由 得
,
,
,
又 点
到直线
的距离
,
的面积
.
令 ,则
.
当且仅当 ,即
时,
面积取最大值
.
此时直线 的方程为
或
.
【解析】(1)由条件先求出c,再由定义求出a,从而 求出椭圆的方程;
(2)设出过点D的直线的方程,代入到椭圆方程中,消去y,得关于x的一元二次方程,结合韦达定理和弦长公式将三角形的面积表示为关于k的函数式,由均值不等式求最值.
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