Question

在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T_n，再令a_n=lgT_n，n≥1．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=tana_n•tana_n+1，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（I）根据在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，我们易得这n+2项的几何平均数为10，故T_n=10ⁿ⁺²，进而根据对数的运算性质我们易计算出数列{a_n}的通项公式；
（II）根据（I）的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列{b_n}的每一项拆成

tan(n+3)-tan(n+2)

tan1

-1的形式，进而得到结论．

解答：解：（I）∵在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，
又∵这n+2个数的乘积计作T_n，
∴T_n=10ⁿ⁺²
又∵a_n=lgT_n，
∴a_n=lg10ⁿ⁺²=n+2，n≥1．
（II）∵b_n=tana_n•tana_n+1=tan（n+2）•tan（n+3）=

tan(n+3)-tan(n+2)

tan1

-1，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=[

tan(4)-tan(3)

tan1

-1]+[

tan(5)-tan(4)

tan1

-1]+…+[

tan(n+3)-tan(n+2)

tan1

-1]
=

tan(n+3)-tan(3)

tan1

-n

点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这n+2项的几何平均数为10，是解答本题的关键．