Question

已知向量

a

，

b

是平面α内的一组基底，向量

c

=

a

+2

b

，对于平面α内异于

a

，

b

的不共线向量

m

，

n

，现给出下列命题：
①当

m

，

n

分别与

a

，

b

对应共线时，满足

c

=

m

+2

n

的向量

m

，

n

有无数组；
②当

m

，

n

与

a

，

b

均不共线时，满足

c

=

m

+2

n

的向量

m

，

n

有无数组；
③当

m

，

n

分别与

a

，

b

对应共线时，满足

c

=

m

+2

n

的向量

m

，

n

不存在；
④当

m

与

a

共线，但向量

n

与向量

b

不共线时，满足

c

=

m

+2

n

的向量

m

，

n

有无数组．
其中真命题的序号是

 

．（填上所有真命题的序号）

Answer 1

分析：根据题意，分析命题：利用平面向量的基本定理，同一个向量在两个方向上的分解是唯一的，判断出①③的对错；对于③④，由于基底的方向可以是任意的，所以对同一个向量分解唯一时，对应的基底可无数个，综合可得答案．

解答：解：对应①，由平面向量基本定理，向量分解是唯一的；所以只有

a

，

b

满足

c

=

a

+2

b

，不在存在

m

，

n

故①错；
对于②，由于

m

 ，

n

方向任意，所以满足

c

=

m

+2

n

的向量

m

，

n

有无数组，故②对；
对于③由①的判断过程得到③对；
对于④，由于

n

向量的任意性，故可构成不同的基底；所以满足

c

=

m

+2

n

的向量

m

，

n

有无数组，故④对
故答案为：②③④

点评：本题考查当基底的方向确定，则对于一个向量的分解是唯一的；当基底方向不确定，对于一个向量的分解系数确定，则基底无数个．