题目内容

已知m，t∈R，函数f （x） =（x - t）3+m．

（I）当t =1时，

（i）若f （1） =1，求函数f （x）的单调区间；

（ii）若关于x的不等式f （x）≥x3—1在区间[1，2]上有解，求m的取值范围；

（Ⅱ）已知曲线y= f （x）在其图象上的两点A（x1，f （x1）），B（x2，f （x2）））（ x1≠x2）处的切线分别为l1、l2．若直线l1与l2平行，试探究点A与点B的关系，并证明你的结论．

解：（Ⅰ）（i）因为，所以，       1分

则， 而恒成立，

所以函数的单调递增区间为．   4分

（ii）不等式在区间上有解，

即  不等式在区间上有解，

即  不等式在区间上有解，

等价于在区间上的最小值，                                6分

因为时，，

所以的取值范围是．                         9分

（Ⅱ）因为的对称中心为，

而可以由经平移得到，

所以的对称中心为,故合情猜测，若直线与平行，则点与点关于点对称．   10分

对猜想证明如下：

因为

所以

所以，，的斜率分别为，．

又直线与平行，所以，即，

因为，

所以，，                                 12分

从而，

所以．

又由上

所以点关于点（对称．

故直线与平行时，点与点关于点对称．   14分

练习册系列答案
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已知m，t∈R，函数f （x）=（x-t）3+m．
（I）当t=1时，
（i）若f （1）=1，求函数f （x）的单调区间；
（ii）若关于x的不等式f （x）≥x3-1在区间[1，2]上有解，求m的取值范围；
（Ⅱ）已知曲线y=f （x）在其图象上的两点A（x1，f （x1）），B（x2，f （x2）））（ x1≠x2）处的切线分别为l1、l2．若直线l1与l2平行，试探究点A与点B的关系，并证明你的结论．

(本小题满分1 4分)已知m，t∈R，函数f (x) =(x - t)3+m．

(I)当t =1时，

(i)若f (1) =1，求函数f (x)的单调区间；

(ii)若关于x的不等式f (x)≥x3—1在区间[1，2]上有解，求m的取值范围；

(Ⅱ)已知曲线y= f (x)在其图象上的两点A(x1，f (x1))，B(x2，f (x2)))( x1≠x2)处的切线

分别为l1、l2．若直线l1与l2平行，试探究点A与点B的关系，并证明你的结论．

 
已知m，t∈R，函数f （x）=（x-t）3+m．
（I）当t=1时，
（i）若f （1）=1，求函数f （x）的单调区间；
（ii）若关于x的不等式f （x）≥x3-1在区间[1，2]上有解，求m的取值范围；
（Ⅱ）已知曲线y=f （x）在其图象上的两点A（x1，f （x1）），B（x2，f （x2）））（ x1≠x2）处的切线分别为l1、l2．若直线l1与l2平行，试探究点A与点B的关系，并证明你的结论．
已知m，t∈R，函数f （x）=（x-t）3+m．
（I）当t=1时，
（i）若f （1）=1，求函数f （x）的单调区间；
（ii）若关于x的不等式f （x）≥x3-1在区间[1，2]上有解，求m的取值范围；
（Ⅱ）已知曲线y=f （x）在其图象上的两点A（x1，f （x1）），B（x2，f （x2）））（ x1≠x2）处的切线分别为l1、l2．若直线l1与l2平行，试探究点A与点B的关系，并证明你的结论．

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