题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知
分别是椭圆
:
(
)的左右焦点,点
是椭圆
上一点,且
.若椭圆
的内接四边形
的边
的延长线交于椭圆外一点
,且点
的横坐标为1,记直线
的斜率分别为
,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,求
的值.
【答案】(1).(2)
【解析】
(1)求椭圆定义可知,点
代入即可得出结果;
(2)设,
,因为
的延长线交于椭圆外一点
,且点
的横坐标为1,于是有
,将直线与椭圆方程联立,结合韦达定理及弦长公式可求得
,
,根据已知条件
化简即可得出结果.
(1),∴
点是椭圆
上一点,代入方程:
,∴
,
∴椭圆的标准方程:
(2)设,
的延长线交于椭圆外一点
,且点
的横坐标为1,于是有
①
②
于是:
代入②可得
同理
又,
可得:
∴
法二:(1)由为椭圆
的左右焦点,
为
上一点,
∴,∴
,∴椭圆
将代入可得
∴椭圆的标准方程为
(2)设,由
斜率分别为
则直线的方程分别为
将与
联立,设
由韦达定理,
∴
同理可证
则由,得
从而
即
∴,∴
又为
的内接四边形,∴
,∴

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