题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知分别是椭圆()的左右焦点,点是椭圆上一点,且.若椭圆的内接四边形的边的延长线交于椭圆外一点,且点的横坐标为1,记直线的斜率分别为.

1)求椭圆的标准方程;

2)若,求的值.

【答案】1.(2

【解析】

1)求椭圆定义可知,代入即可得出结果;

2)设,因为的延长线交于椭圆外一点,且点的横坐标为1,于是有,将直线与椭圆方程联立,结合韦达定理及弦长公式可求得,,根据已知条件化简即可得出结果.

1,

是椭圆上一点,代入方程:,∴

∴椭圆的标准方程:

2)设

的延长线交于椭圆外一点,且点的横坐标为1,于是有

于是:

代入②可得

同理

可得:

法二:(1)由为椭圆的左右焦点,上一点,

,∴,∴椭圆

代入可得

∴椭圆的标准方程为

2)设,由斜率分别为

则直线的方程分别为

联立,设

由韦达定理,

同理可证

则由,得

从而

,∴

的内接四边形,∴,∴

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