题目内容
如果正数数列{an}满足:对任意的正数M,都存在正整数n0,使得an0>M,则称数列{an}是一个无界正数列.(Ⅰ)若an=3+2sin(n)(n=1,2,3,…),bn=
|
(Ⅱ)若an=n+2,是否存在正整数k,使得对于一切n≥k,有
a1 |
a2 |
a2 |
a3 |
an |
an+1 |
1 |
2 |
(Ⅲ)若数列{an}是单调递增的无界正数列,求证:存在正整数m,使得
a1 |
a2 |
a2 |
a3 |
am |
am+1 |
分析:(Ⅰ)取M=5,显然an=3+2sin(n)≤5不符合无界正数列的定义;对任意的正数M,取n0为大于2M的一个偶数,bn0=
>
>M符合无界正数列的定义.
(Ⅱ)
+
+…+
<n-
变形为n-(
+
++
)=
+
++
从而求得;
(Ⅲ)观察要证的不等式的结构与(II)相似,故应用(II)变形后,再由{an}是单调递增的无界正数列证明.
n0+1 |
2 |
2M+1 |
2 |
(Ⅱ)
a1 |
a2 |
a2 |
a3 |
an |
an+1 |
1 |
2 |
a1 |
a2 |
a2 |
a3 |
an |
an+1 |
a2-a1 |
a2 |
a3-a2 |
a3 |
an+1-an |
an+1 |
(Ⅲ)观察要证的不等式的结构与(II)相似,故应用(II)变形后,再由{an}是单调递增的无界正数列证明.
解答:解:(Ⅰ){an}不是无界正数列.理由如下:
取M=5,显然an=3+2sin(n)≤5,不存在正整数n0满足an0>5;{bn}是无界正数列.理由如下:
对任意的正数M,取n0为大于2M的一个偶数,有bn0=
>
>M,所以{bn}是无界正数列.
(Ⅱ)存在满足题意的正整数k.理由如下:
当n≥3时,
因为n-(
+
++
)=
+
++
=
+
++
≥
+
+
>
,
即取k=3,对于一切n≥k,有
+
++
<n-
成立.
注:k为大于或等于3的整数即可.
(Ⅲ)证明:因为数列{an}是单调递增的正数列,
所以n-(
+
++
)=
+
++
>
+
++
=
=1-
.
即
+
++
<n-1+
.
因为{an}是无界正数列,取M=2a1,由定义知存在正整数n1,使an1+1>2a1.
所以
+
++
<n1-
.
由定义可知{an}是无穷数列,考察数列an1+1,an1+2,an1+3,
显然这仍是一个单调递增的无界正数列,同上理由可知存在正整数n2,使得
+
++
<(n2-n1)-
.
重复上述操作,直到确定相应的正整数n4018.
则
+
++
<(n1-
)+(n2-n1-
)++(n4018-n4017-
)=n4018-2009.
即存在正整数m=n4018,使得
+
++
<m-2009成立.
取M=5,显然an=3+2sin(n)≤5,不存在正整数n0满足an0>5;{bn}是无界正数列.理由如下:
对任意的正数M,取n0为大于2M的一个偶数,有bn0=
n0+1 |
2 |
2M+1 |
2 |
(Ⅱ)存在满足题意的正整数k.理由如下:
当n≥3时,
因为n-(
a1 |
a2 |
a2 |
a3 |
an |
an+1 |
a2-a1 |
a2 |
a3-a2 |
a3 |
an+1-an |
an+1 |
1 |
4 |
1 |
5 |
1 |
n+3 |
1 |
4 |
1 |
5 |
1 |
6 |
1 |
2 |
即取k=3,对于一切n≥k,有
a1 |
a2 |
a2 |
a3 |
an |
an+1 |
1 |
2 |
注:k为大于或等于3的整数即可.
(Ⅲ)证明:因为数列{an}是单调递增的正数列,
所以n-(
a1 |
a2 |
a2 |
a3 |
an |
an+1 |
a2-a1 |
a2 |
a3-a2 |
a3 |
an+1-an |
an+1 |
a2-a1 |
an+1 |
a3-a2 |
an+1 |
an+1-an |
an+1 |
an+1-a1 |
an+1 |
a1 |
an+1 |
即
a1 |
a2 |
a2 |
a3 |
an |
an+1 |
a1 |
an+1 |
因为{an}是无界正数列,取M=2a1,由定义知存在正整数n1,使an1+1>2a1.
所以
a1 |
a2 |
a2 |
a3 |
an1 |
an1+1 |
1 |
2 |
由定义可知{an}是无穷数列,考察数列an1+1,an1+2,an1+3,
显然这仍是一个单调递增的无界正数列,同上理由可知存在正整数n2,使得
an1+1 |
an1+2 |
an1+2 |
an1+3 |
an2 |
an2+1 |
1 |
2 |
重复上述操作,直到确定相应的正整数n4018.
则
a1 |
a2 |
a2 |
a3 |
an4018 |
an4018+1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
即存在正整数m=n4018,使得
a1 |
a2 |
a2 |
a3 |
am |
am+1 |
点评:本题通过情境设置定义新的数列在研究中渗透着不等式的构造、变形、放缩,培养学生灵活运用知识的能力.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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