Question

已知x＞0，y＞0，且

2

x

+

1

y

=1，若x+2y＞m恒成立，则m的范围是

（-∞，8）

．

Answer 1

分析：利用基本不等式和恒成立问题的等价转化即可得出．

解答：解：∵x＞0，y＞0，且

2

x

+

1

y

=1，∴x+2y=(x+2y)(

2

x

+

1

y

)=4+

4y

x

+

x

y

≥4+2

4y x • x y

=8，当且仅当x=2y=4时取等号．
∵x+2y＞m恒成立，∴m＜（x+2y）_min=8．
故答案为（-∞，8）．

点评：熟练掌握基本不等式和恒成立问题的等价转化是解题的关键．