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精英家教网如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点F是椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点,A,B,C分别为椭圆E的右、下、上顶点,满足
FC
BA
=5
,椭圆的离心率为
1
2

(1)求椭圆E的方程;
(2)若P为线段FC(包括端点)上任意一点,当
PA
 • 
PB
取得最小值时,求点P的坐标;
(3)设M为线段BC(包括端点)上的一个动点,射线MF交椭圆于点N,若
NF
FM
,求实数λ的取值范围.
分析:(1)由点的坐标得到向量
FC
BA
的坐标,由数量积等于5,结合离心率即隐含条件联立求解a,b c的值,则椭圆的方程可求;
(2)由题意求出线段FC的方程,设出P点坐标,代入数量积公式后化为关于x的表达式,利用配方法求最值,并求出取得最值时的P点坐标;
(3)设出M点坐标,由
NF
FM
把N点的坐标用含有λ和m的代数式表示,把N代代入椭圆方程得到m和λ的关系式,由m得范围进一步求解λ的范围.
解答:解:(1)设F(-c,0).
∵A(a,0),B(0,-b),C(0,b),
FC
=(c,b),
BA
=(a,b)

FC
BA
=5
,∴ac+b2=5①.
c
a
=
1
2
,a2=b2+c2②.
由①②得a=2,c=1,b=
3

∴椭圆E的方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(2)由题意可得线段FC的方程为y=
3
x+
3
(-1≤x≤0)

设P(x,y),则
PA
=(2-x,-y),
PB
=(-x,-
3
-y)

PA
PB
=x(x-2)+y(y+
3
)
=x(x-2)+3(x+1)(x+2)=4(x+
7
8
)2+
47
16

PA
PB
取得最小值时,x=-
7
8
,此时点P的坐标为(-
7
8
3
8
)

(3)设M(0,m),由
NF
FM
,得N(-1-λ,-λm).
代入椭圆的方程得:3(-1-λ)2+4(-λm)2-12=0.
即4(λm)2=12-3(1+λ)2
m∈[-
3
3
]
,∴0≤4(λm)2≤12λ2
则0≤12-3(1+λ)2≤12λ2
解得:-3≤λ≤-1(舍)或
3
5
≤λ≤1
点评:本题考查了椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单几何性质,考查了直线与圆锥曲线的关系,训练了利用向量法求解解析几何问题,解答的关键是对向量的坐标表示法的熟练运用,属有一定难度题目.
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