题目内容

x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
FC |
BA |
1 |
2 |
(1)求椭圆E的方程;
(2)若P为线段FC(包括端点)上任意一点,当
PA |
PB |
(3)设M为线段BC(包括端点)上的一个动点,射线MF交椭圆于点N,若
NF |
FM |
分析:(1)由点的坐标得到向量
,
的坐标,由数量积等于5,结合离心率即隐含条件联立求解a,b c的值,则椭圆的方程可求;
(2)由题意求出线段FC的方程,设出P点坐标,代入数量积公式后化为关于x的表达式,利用配方法求最值,并求出取得最值时的P点坐标;
(3)设出M点坐标,由
=λ
把N点的坐标用含有λ和m的代数式表示,把N代代入椭圆方程得到m和λ的关系式,由m得范围进一步求解λ的范围.
FC |
BA |
(2)由题意求出线段FC的方程,设出P点坐标,代入数量积公式后化为关于x的表达式,利用配方法求最值,并求出取得最值时的P点坐标;
(3)设出M点坐标,由
NF |
FM |
解答:解:(1)设F(-c,0).
∵A(a,0),B(0,-b),C(0,b),
∴
=(c,b),
=(a,b).
∵
•
=5,∴ac+b2=5①.
又
=
,a2=b2+c2②.
由①②得a=2,c=1,b=
.
∴椭圆E的方程为
+
=1;
(2)由题意可得线段FC的方程为y=
x+
(-1≤x≤0).
设P(x,y),则
=(2-x,-y),
=(-x,-
-y).
•
=x(x-2)+y(y+
)=x(x-2)+3(x+1)(x+2)=4(x+
)2+
.
当
•
取得最小值时,x=-
,此时点P的坐标为(-
,
);
(3)设M(0,m),由
=λ
,得N(-1-λ,-λm).
代入椭圆的方程得:3(-1-λ)2+4(-λm)2-12=0.
即4(λm)2=12-3(1+λ)2.
∵m∈[-
,
],∴0≤4(λm)2≤12λ2.
则0≤12-3(1+λ)2≤12λ2.
解得:-3≤λ≤-1(舍)或
≤λ≤1.
∵A(a,0),B(0,-b),C(0,b),
∴
FC |
BA |
∵
FC |
BA |
又
c |
a |
1 |
2 |
由①②得a=2,c=1,b=
3 |
∴椭圆E的方程为
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(2)由题意可得线段FC的方程为y=
3 |
3 |
设P(x,y),则
PA |
PB |
3 |
PA |
PB |
3 |
7 |
8 |
47 |
16 |
当
PA |
PB |
7 |
8 |
7 |
8 |
| ||
8 |
(3)设M(0,m),由
NF |
FM |
代入椭圆的方程得:3(-1-λ)2+4(-λm)2-12=0.
即4(λm)2=12-3(1+λ)2.
∵m∈[-
3 |
3 |
则0≤12-3(1+λ)2≤12λ2.
解得:-3≤λ≤-1(舍)或
3 |
5 |
点评:本题考查了椭圆的标准方程,考查了椭圆的简单几何性质,考查了直线与圆锥曲线的关系,训练了利用向量法求解解析几何问题,解答的关键是对向量的坐标表示法的熟练运用,属有一定难度题目.

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