Question

1．用数学归纳法证明：1×2+2×3+3×4+…+n×（n+1）=$\frac{n（n+1）（n+2）}{3}（n∈{N^*}）$．

Answer 1

分析 要抓住数学归纳法证明的两步，第一步验证时，左右两边相等；第二步的证明一定要用上归纳假设，最后要总结．

解答 解：（1）当n=1时，左边=1×2=2，右边=$\frac{1×2×3}{3}$=2=左边，∴等式成立．
（2）假设当n=k（k∈N^*）时，等式成立，
即1×2+2×3+3×4+…+k×（k+1）=$\frac{k（k+1）（k+2）}{3}$．
则当n=k+1时，1×2+2×3+3×4+…+k×（k+1）+（k+1）（k+2）=$\frac{k（k+1）（k+2）}{3}$+（k+1）（k+2）=$\frac{（k+1）（k+2）（k+3）}{3}$．
∴n=k+1时，等式成立．
由（1）、（2）可知，原等式对于任意k∈N^*成立．

点评 考查数学归纳法证明有关正整数命题的方法步骤，特别是②是关键，是核心，也是数学归纳法证明命题的难点所在，属基础题．