Question

（2013•宝山区二模）已知椭圆Γ：

x2

12

+

y2

4

=1．
（1）直线AB过椭圆Γ的中心交椭圆于A、B两点，C是它的右顶点，当直线AB的斜率为1时，求△ABC的面积；
（2）设直线l：y=kx+2与椭圆Γ交于P、Q两点，且线段PQ的垂直平分线过椭圆Γ与y轴负半轴的交点D，求实数k的值．

Answer 1

分析：（1）由题意写出C点坐标，直线AB方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点A、B的纵坐标，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则S△ABC=

1

2

|OC||y1-y2|，代入数值即可求得面积；
（2）联立直线l与椭圆方程消掉y得x的二次方程，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），线段PQ的中点H（x₀，y₀），由韦达定理及中点坐标公式可用k表示出中点坐标，由垂直可得
k_DH•k_PQ=-1，解出即得k值，注意检验△＞0；

解答：解：（1）依题意，a=2

3

，C(2

3

，0)，直线AB的方程为y=x，
由

x2 12 + y2 4 =1 y=x

，得y=±

3

，
设A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），∵|OC|=2

3

，
∴S△ABC=

1

2

|OC|•|y1-y2|=

1

2

×2

3

×2

3

=6；
（2）由

y=kx+2 x2 12 + y2 4 =1

得（3k²+1）x²+12kx=0，△=（12k）²≥0，
依题意，k≠0，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），线段PQ的中点H（x₀，y₀），
则x0=

x1+x2

2

=

-6k

3k2+1

，y0=kx0+2=

2

3k2+1

，D（0，-2），
由k_DH•k_PQ=-1，得

2 3k2+1 +2

- 6k 3k2+1

•k=-1，解得k=±

3

3

．
所以实数k的值为±

3

3

．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、三角形面积公式，韦达定理、判别式是解决该类题目的常用知识，要熟练掌握．