Question

双曲线x²-y²=1的左焦点为F，点P为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF的斜率的变化范围是

1. A.
   （-∞，0）
2. B.
   （1，+∞）
3. C.
   （-∞，0）∪（1，+∞）
4. D.
   （-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer 1

C
分析：当点P向双曲线右下方无限移动时，直线PF逐渐与渐近线平行，但是永不平行，所以倾斜角大于45°；当点P逐渐靠近顶点时，倾斜角逐渐增大，但是小于180°．由此可知直线PF的斜率的变化范围（-∞，0）∪（1，+∞）．
解答：由题意条件知双曲线的渐近线倾斜角为45°，
当点P向双曲线右下方无限移动时，直线PF逐渐与渐近线平行，但是永不平行，所以倾斜角大于45°；
当点P逐渐靠近顶点时，倾斜角逐渐增大，但是小于180°．
所以直线PF的倾斜角的范围是（45°，180°）．
由此可知直线PF的斜率的变化范围（-∞，0）∪（1，+∞）．
故选C．
点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．