Question

如图在棱长为4的正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心，点P在棱CC₁上，且CC₁=4CP.

（1）求直线AP与平面BCC₁B₁所成的角的大小；

（2）设O点在平面D₁AP上的射影是H，求证D₁H⊥AP；

（3）求点P到平面ABD₁的距离.

Answer 1

（1）解：连接BP，AB⊥平面BCC₁B₁，BP平面BCC₁B₁，

∴AB⊥BP，α为所求的角的平面角，在Rt△ABP中，BP=，

tanα=，∴α=arctan.

（2）证明：连接D₁B₁，A₁C₁，D₁B₁⊥A₁C₁，D₁B₁⊥A₁A，

∴D₁B₁⊥平面A₁APC₁.AP平面A₁APC₁，

∴D₁B₁⊥AP，

    又O在平面D₁AP上的射影是H，

∴OH⊥平面D₁AP.

AP平面D₁AP，即OH⊥AP，得到AP⊥平面D₁OH，D₁H平面D₁OH，

∴AP⊥D₁H.

（3）解：在平面CC₁D₁D上作PN∥CD，CD∥AB，得PN∥AB，∴PN∥平面ABD₁.

    要求P点到平面ABD₁的距离，即是求N点到平面ABD₁的距离，过N点作NM⊥AD₁，垂足为M.

    在△ADD₁中，AD₁=，ND₁=3，

∴，NM=.

∴点P到平面ABD₁的距离是.